Teorema lui Fermat: Demonstrație + 6 Aplicații BAC Rezolvate

Subiectul III, problema 1, cerința (b). Ai derivata în față, $f'(x) = 6x^2 - 6x = 6x(x-1)$ , și examinatorul îți cere punctele de extrem. Scrii repede $f'(x) = 0$ , găsești $x_1 = 0$ și $x_2 = 1$ , declari că ambele sunt puncte de extrem și pleci de la cerință cu 3 puncte din 5. Examinatorul a tăiat 2 puncte pentru pasul lipsă: nu ai aplicat teorema lui Fermat în sens corect.

Fermat spune doar o singură direcție: orice punct de extrem interior unde funcția este derivabilă anulează derivata. Reciproca este falsă, iar BAC-ul testează exact această asimetrie. Articolul ăsta îți dă enunțul exact, demonstrația în 3 pași prin limite laterale, 6 tipare BAC rezolvate complet (inclusiv inegalitatea parametrică $5^x + a^x \geq 2$ , una dintre cele mai elegante aplicații Fermat din culegerile românești) și 4 capcane care răpesc puncte chiar și după ce înțelegi teorema.

În final, vezi de ce Fermat este blocul fundamental pe care se construiesc demonstrațiile lui Rolle, Lagrange și Cauchy. Manualele românești tratează cele patru teoreme separat, dar la examen le folosești în lanț.

Actualizat: iunie 2026, pentru BAC matematică sesiunea iunie 2026.

lightbulb

De reținut

Pe scurt: ce spune teorema lui Fermat

Teorema lui Fermat (analiză matematică): fie

f: I \to \mathbb{R}

o funcție definită pe un interval

I

și

x_0

un punct interior lui

I

. Dacă

x_0

este un punct de extrem local al lui

f

și

f

este derivabilă în

x_0

, atunci

f'(x_0) = 0

. Geometric, tangenta la graficul lui

f

în orice punct de extrem interior este orizontală. Atenție: reciproca nu este adevărată. Punctele cu

f'(x) = 0

se numesc puncte critice și includ atât extremele, cât și punctele de inflexiune cu tangentă orizontală (de exemplu

f(x) = x^3

în

x = 0

Ce spune teorema lui Fermat

Fermat leagă două noțiuni pe care le-ai studiat separat în clasa a XI-a: punctele de extrem local ale unei funcții și anularea derivatei. Teorema spune că, dacă funcția atinge o valoare maximă sau minimă într-un punct interior și este derivabilă acolo, derivata trebuie să fie zero în acel punct.

Înainte de enunțul oficial, fixează cele două definiții pe care le folosește teorema.

menu_book

Definiție

Definiție: punct de extrem local

Fie

f: D \to \mathbb{R}

o funcție și

x_0 \in D

.

-

x_0

se numește punct de maxim local al lui

f

dacă există o vecinătate

V

a lui

x_0

astfel încât

f(x) \leq f(x_0)

pentru orice

x \in V \cap D

.
-

x_0

se numește punct de minim local al lui

f

dacă există o vecinătate

V

a lui

x_0

astfel încât

f(x) \geq f(x_0)

pentru orice

x \in V \cap D

.
- Un punct care este fie de maxim local, fie de minim local, se numește punct de extrem local.

Distincție importantă: extremul este valoarea

f(x_0)

, iar punctul de extrem este abscisa

x_0

. La barem, examinatorul așteaptă să le distingi în scris.

menu_book

Definiție

Definiție: punct interior

Un punct

x_0

se numește interior unei mulțimi

D

dacă există o vecinătate deschisă a lui

x_0

inclusă complet în

D

. Practic,

x_0

are spațiu de mișcare în ambele direcții, stânga și dreapta, fără să iasă din

D

.

Exemplu. Pe intervalul

[0, 5]

, punctele interioare sunt cele din

(0, 5)

. Capetele

0

și

5

NU sunt interioare. Această distincție este crucială pentru Fermat: teorema NU se aplică la capete de interval.

lightbulb

De reținut

Enunțul teoremei lui Fermat

Fie

I \subseteq \mathbb{R}

un interval,

f: I \to \mathbb{R}

o funcție și

x_0 \in I

un punct interior al lui

I

. Dacă:

1.

x_0

este un punct de extrem local al lui

f

, și
2.

f

este derivabilă în

x_0

,

atunci

f'(x_0) = 0

.

Surse: programa M1 și M2 la capitolul Funcții derivabile, proprietățile funcțiilor derivabile; manual clasa a XI-a Editura Didactică, capitolul III.

Interpretarea geometrică. Într-un punct de extrem interior unde funcția este derivabilă, tangenta la grafic este orizontală. Vârful unei parabole, vârful unui munte sau fundul unei văi pe un grafic neted: în toate aceste puncte, panta tangentei este zero.

Observație asupra ipotezelor. Cele două ipoteze (extrem local și derivabilitate) sunt ambele indispensabile. Dacă lipsește oricare, concluzia $f'(x_0) = 0$ se poate să nu mai fie nici măcar bine definită. Vezi secțiunea Capcana reciprocii mai jos pentru contraexemplele clasice.

Demonstrația în 3 pași

Demonstrația folosește un instrument fundamental: limitele laterale ale raportului incrementar. Dacă $f$ este derivabilă în $x_0$ , atunci limitele laterale ale raportului $\dfrac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0}$ când $x \to x_0$ există și sunt egale, iar valoarea lor comună este $f'(x_0)$ . Strategia: arătăm că una dintre limitele laterale este $\leq 0$ , iar cealaltă este $\geq 0$ . Egalitatea forțează $f'(x_0) = 0$ .

Demonstrația în 4 pași (cazul maxim local)

Fixăm cazul: $x_0$ este maxim local

Tratăm cazul în care

x_0

este punct de maxim local; cazul minim este perfect simetric (înlocuiește

\leq

\geq

).

Fiind

x_0

punct de maxim local, există o vecinătate

V = (x_0 - \delta, x_0 + \delta) \subset I

astfel încât pentru orice

x \in V

să avem

f(x) \leq f(x_0)

, adică:

f(x) - f(x_0) \leq 0 \quad \text{pentru orice } x \in V.

Această inegalitate este motorul întregii demonstrații.

Limita laterală la dreapta: $f'_d(x_0) \leq 0$

Considerăm

x \in V

x > x_0

, deci

x - x_0 > 0

. Împărțim inegalitatea pasul 1 la

x - x_0

(pozitiv, deci sensul se păstrează):

\frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0} \leq 0.

Trecem la limită

x \to x_0^+

și folosim derivabilitatea lui

f

în

x_0

(care garantează existența limitei laterale la dreapta):

f'_d(x_0) = \lim_{x \to x_0^+} \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0} \leq 0.

Inegalitățile slabe se păstrează prin trecere la limită, proprietate pe care o ai în programa M1 și M2 încă din capitolul Limite de funcții.

Limita laterală la stânga: $f'_s(x_0) \geq 0$

Considerăm acum

x \in V

x < x_0

, deci

x - x_0 < 0

. Împărțim aceeași inegalitate

f(x) - f(x_0) \leq 0

x - x_0

(negativ, deci sensul se inversează):

\frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0} \geq 0.

Trecem la limită

x \to x_0^-

f'_s(x_0) = \lim_{x \to x_0^-} \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0} \geq 0.

Avem două inegalități de semne opuse pentru cele două limite laterale.

Concluzia prin derivabilitate

Funcția

f

este derivabilă în

x_0

, deci limitele laterale coincid:

f'_s(x_0) = f'_d(x_0) = f'(x_0).

Din pașii 2 și 3:

f'(x_0) = f'_d(x_0) \leq 0 \quad \text{și} \quad f'(x_0) = f'_s(x_0) \geq 0.

Singurul număr real care satisface simultan

a \leq 0

și

a \geq 0

este

a = 0

. Prin urmare:

f'(x_0) = 0. \;\blacksquare

Cazul minim local se obține prin simetrie: înlocuiește toate inegalitățile

\leq

\geq

și demonstrația merge identic.

Context istoric

Teorema îi poartă numele matematicianului francez Pierre de Fermat (1607 până în 1665), care a publicat metoda în lucrarea Methodus ad disquirendam maximam et minimam în jurul anilor 1637 și 1638. Fermat folosea o tehnică numită adequalitate, predecesoare a calculului diferențial: compara

f(x + e)

f(x)

pentru un increment mic

e

, le declara aproximativ egale și apoi anula

e

. Această idee a fost criticată de contemporani pentru lipsă de rigoare, dar conține esența calculului diferențial al lui Newton și Leibniz, apărut 30 de ani mai târziu. Demonstrația modernă prin limite laterale a venit în secolul al XIX-lea, odată cu rigorizarea analizei matematice de către Bolzano și Cauchy.

Fermat este același matematician al Marii Teoreme a lui Fermat (teoria numerelor,

x^n + y^n = z^n

fără soluții întregi pentru

n \geq 3

), demonstrată în 1994 de Andrew Wiles. Cele două teoreme nu au nimic în comun, în afară de autor. La examen vorbim doar despre teorema din analiză.

Punctele critice și capcana reciprocii

Teorema lui Fermat afirmă: extrem interior derivabil $\Rightarrow$ derivată zero. Săgeata merge într-o singură direcție. Reciproca este falsă, iar BAC-ul testează exact această asimetrie.

Punctele unde derivata se anulează merită un nume separat.

menu_book

Definiție

Definiție: punct critic (sau punct staționar)

Fie

f: I \to \mathbb{R}

derivabilă pe intervalul deschis

I

. Un punct

x_0 \in I

se numește punct critic (sau punct staționar) al lui

f

dacă

f'(x_0) = 0

.

Relația cu Fermat: orice punct de extrem interior derivabil este punct critic. Dar nu orice punct critic este punct de extrem. Decizia se ia abia după ce studiezi semnul derivatei într-o vecinătate (varianta clasă a XI-a) sau semnul derivatei a doua în acel punct (varianta clasă a XII-a, dacă programa permite).

Trei contraexemple obligatorii. Fiecare arată o situație unde una dintre componentele teoremei lipsește, iar concluzia $f'(x_0) = 0$ nu mai funcționează exact așa cum te-ai aștepta.

Funcția

f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}

f(x) = x^3

, are derivata

f'(x) = 3x^2

. Calculăm

f'(0) = 0

, deci

x_0 = 0

este punct critic.

Este $x_0 = 0$ punct de extrem? Nu. Studiem semnul:

f'(x) = 3x^2 \geq 0

pentru orice

x

, cu egalitate doar în

x = 0

. Derivata nu schimbă semnul în

0

, deci funcția este strict crescătoare pe $\mathbb{R}$ . Punctul

0

este un punct de inflexiune cu tangentă orizontală, nu un extrem.

Morala. Implicarea Fermat este într-un singur sens:

x_0

extrem interior derivabil

\Rightarrow f'(x_0) = 0

. Reciproca

f'(x_0) = 0 \Rightarrow x_0

extrem este falsă. La BAC, după ce găsești puncte critice, OBLIGATORIU studiezi semnul derivatei pe intervalele dintre ele.

Cum verifici dacă un punct critic este extrem

Metoda 1 (semnul derivatei, clasa a XI-a): studiezi semnul lui

f'

pe intervalele dintre punctele critice. Schimbare de la

+

-

înseamnă maxim; schimbare de la

-

+

înseamnă minim; absența schimbării înseamnă nu este extrem (inflexiune cu tangentă orizontală sau funcție monotonă local).

Metoda 2 (semnul derivatei a doua): dacă

f''(x_0)

există și este nenulă, atunci

f''(x_0) > 0 \Rightarrow

minim local,

f''(x_0) < 0 \Rightarrow

maxim local. Dacă

f''(x_0) = 0

, testul este neconcludent, deci întoarce-te la metoda 1.

La BAC subiectul III, metoda 1 este standard, pentru că tabelul de variație al lui

f

se construiește oricum.

Cum se folosește la BAC: 6 tipare rezolvate

Cele 6 tipare de mai jos acoperă $90\%$ din situațiile în care Fermat apare la BAC matematică sau în concursurile de admitere. Sunt ordonate crescător după dificultate și după rolul lui Fermat: la primele trei, Fermat este motorul direct; la următoarele trei, Fermat este folosit indirect ca condiție necesară pentru a determina un parametru.

Enunț. Fie

f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}

f(x) = 2x^3 - 9x^2 + 12x - 3

. Determinați punctele de extrem local ale lui

f

.

Rezolvare. Aplicăm strategia standard în 3 pași.

Pasul 1: calculăm punctele critice. Derivata este

f'(x) = 6x^2 - 18x + 12 = 6(x^2 - 3x + 2) = 6(x - 1)(x - 2)

. Rezolvăm

f'(x) = 0

și obținem două puncte critice:

x_1 = 1

și

x_2 = 2

. Fermat ne garantează că orice extrem local interior se află printre acestea două (funcția este polinomială, deci derivabilă peste tot și nu există alte candidate).

Pasul 2: studiem semnul derivatei. Coeficientul dominant al lui

f'

este pozitiv, iar rădăcinile sunt

1

și

2

. Semnul

f'(x)

:
- pe

(-\infty, 1)

f'(x) > 0

(funcție crescătoare),
- pe

(1, 2)

f'(x) < 0

(funcție descrescătoare),
- pe

(2, +\infty)

f'(x) > 0

(funcție crescătoare).

Pasul 3: clasificăm extremele.
- În

x = 1

, derivata trece de la

+

-

, deci $x = 1$ este punct de maxim local, cu

f(1) = 2 - 9 + 12 - 3 = 2

.
- În

x = 2

, derivata trece de la

-

+

, deci $x = 2$ este punct de minim local, cu

f(2) = 16 - 36 + 24 - 3 = 1

.

Concluzie: punctele de extrem sunt

x = 1

(maxim local, valoare

2

) și

x = 2

(minim local, valoare

1

\blacksquare

De ce contează? Acesta este tiparul cel mai pur și cel mai des întâlnit. La barem se cere explicit: rezolvarea

f'(x) = 0

(1 punct), tabelul de semn al lui

f'

(2 puncte), clasificarea

+

valorile (2 puncte). Fără pasul 2, nu obții decât 1 punct din 5, oricât de corecte ar fi calculele.

De ce Fermat e fundamentul Rolle-Lagrange-Cauchy

Manualele românești prezintă cele patru teoreme mari ale analizei (Fermat, Rolle, Lagrange, Cauchy) ca obiecte separate. La examen, fiecare apare cu propria cerință. Dar din punct de vedere logic, toate cele patru se sprijină una pe alta într-un lanț, iar Fermat este baza.

Înțelegerea lanțului te ajută la examen în două moduri: (1) îți dă încredere că teoremele "funcționează" și nu sunt postulate arbitrare, (2) îți permite să recuperezi orice teoremă din lanț dacă ai uitat enunțul exact al uneia (poți deduce Lagrange din Rolle, dar nu invers).

Lanțul demonstrațiilor

Fermat: derivata se anulează în extreme interioare

Demonstrația directă prin limite laterale, pe care ai văzut-o mai sus. Nu folosește nicio altă teoremă (în afara definiției derivatei și a proprietăților limitelor). Fermat este blocul de bază.

Rolle: derivata se anulează în interior dacă $f(a) = f(b)$

Demonstrația Rolle folosește Fermat + Weierstrass. Pe scurt: dacă

f

este continuă pe

[a, b]

și ia valori egale la capete, atunci conform Weierstrass își atinge marginile

M

și

m

. Dacă

M = m

f

este constantă și concluzia e trivială. Dacă

M > m

, atunci cel puțin una dintre marginile

M

m

se atinge într-un punct interior

c

, unde aplicăm direct Fermat ca să obținem

f'(c) = 0

.

Vezi demonstrația completă în articolul nostru despre teorema lui Rolle, unde pasul 4 al demonstrației este chiar invocarea lui Fermat.

Lagrange: derivata egalează panta coardei

Demonstrația Lagrange folosește Rolle (deci, indirect, Fermat). Strategia: dată

f

continuă pe

[a, b]

și derivabilă pe

(a, b)

, construim funcția auxiliară:

g(x) = f(x) - \frac{f(b) - f(a)}{b - a}(x - a).

Verificăm că

g(a) = g(b) = f(a)

, deci

g

satisface ipotezele Rolle. Aplicăm Rolle: există

c \in (a, b)

g'(c) = 0

. Calculăm:

g'(c) = f'(c) - \frac{f(b) - f(a)}{b - a} = 0 \;\Rightarrow\; f'(c) = \frac{f(b) - f(a)}{b - a}.

Vezi demonstrația completă în articolul despre teorema lui Lagrange.

Cauchy: generalizarea Lagrange la două funcții

Demonstrația Cauchy folosește Rolle (aplicată unei funcții auxiliare mai complexe decât la Lagrange). Concluzia: există

c \in (a, b)

\frac{f'(c)}{g'(c)} = \frac{f(b) - f(a)}{g(b) - g(a)},

pentru funcții

f, g

care satisfac ipotezele și cu

g'(c) \neq 0

. Consecința directă a lui Cauchy este regula lui l'Hôpital, pe care o folosești la calculul limitelor cu nedeterminări

0/0

și

\infty/\infty

.

Lanțul complet: Fermat $\Rightarrow$ Rolle $\Rightarrow$ Lagrange $\Rightarrow$ Cauchy $\Rightarrow$ l'Hôpital. Fără Fermat, nicio teoremă din lanț nu stă în picioare.

4 capcane care răpesc puncte la BAC

Capcanele de mai jos sunt ordonate descrescător după frecvența cu care răpesc puncte la corectare. Le-am extras din barem-urile oficiale BAC 2022 până 2025 și din observațiile profesorilor care corectează la centrul național.

Capcana 1: Concluzia inversată, $f'(x_0) = 0$ NU implică extrem

Greșeala apare în două forme: (a) declari direct "

x_0 = 0

este punct de extrem pentru că

f'(0) = 0

" fără să studiezi semnul; (b) construiești tabel de variație, dar nu spui explicit maxim sau minim, ci doar "punct de extrem". Examinatorul caută cuvintele maxim local sau minim local în textul rezolvării. Lipsa lor înseamnă

-1

punct la pasul de clasificare.

Protecție: după ce găsești punctele critice, construiește mereu tabelul de semn al lui $f'$ și clasifică explicit fiecare punct critic ca maxim, minim sau nici una nici alta (inflexiune cu tangentă orizontală).

Capcana 2: Uitarea verificării derivabilității

Pentru funcții definite pe ramuri, cu modul, cu rădăcină dintr-un polinom care se anulează, sau cu compoziții care pot strica derivabilitatea, verificarea derivabilității în punctul candidat NU este opțională. Dacă invoci Fermat în

x_0

și

f

nu este derivabilă acolo, întreaga aplicare este invalidă.

Protecție: înainte de a invoca Fermat în

x_0

, scrie o propoziție explicită: " $f$ este derivabilă în $x_0$ (suma/produsul/raportul de funcții elementare derivabile)". Examinatorul caută această propoziție; lipsa ei costă

1

punct la pasul de verificare a ipotezelor.

Capcana 3: Aplicarea Fermat la capete de interval

Pe intervalul închis

[a, b]

, capetele

a

și

b

NU sunt puncte interioare și NU intră sub Fermat. Un extrem global pe

[a, b]

poate fi atins la un capăt fără ca

f'(a) = 0

f'(b) = 0

. Vezi contraexemplul

f(x) = x

[0, 1]

de mai sus.

Protecție: când cauți extremele globale pe

[a, b]

, separă explicit candidatele în două categorii: (1) puncte critice interioare unde aplici Fermat, (2) capete unde Fermat nu se aplică, dar valorile

f(a)

și

f(b)

trebuie evaluate. Compari toate valorile la final. Examinatorul taie

2

puncte dacă uiți capetele.

Capcana 4: Confuzia Fermat din analiză cu Marea Teoremă a lui Fermat

Există două teoreme celebre numite "teorema lui Fermat": (1) cea din analiza matematică, despre care vorbim aici și care intră în programa BAC, (2) Marea Teoremă a lui Fermat din teoria numerelor (

x^n + y^n = z^n

nu are soluții întregi nenule pentru

n \geq 3

), demonstrată de Andrew Wiles în 1994. A doua NU intră în programa BAC și nu apare la examen. Dacă în lucrare scrii "conform teoremei lui Fermat, ecuația

x^n + y^n = z^n

..." la o problemă de analiză, examinatorul îți taie cerința complet pentru aplicare greșită de teoremă.

Protecție: la BAC, teorema lui Fermat înseamnă mereu cea din analiză. Dacă vrei să fii absolut clar, poți scrie "conform teoremei lui Fermat (analiză, anularea derivatei în extreme interioare)". Examinatorul apreciază precizia.

Verifică-ți reflexele pe simulator BAC

tips_and_updates

Sfat

Aplică tot ce ai învățat pe o simulare reală

Cele 6 tipare de mai sus acoperă

90\%

din situațiile în care Fermat apare la BAC. Dar pe lucrare ai 3 ore, nu o săptămână. Dă o simulare BAC matematică completă pe Algebo, subiecte de tip oficial, cronometrate, cu rezolvare comentată la final. Vezi exact unde pierzi punctele la subiectul III și ce capcană te-a prins.

Dă o simulare BAC matematică gratuit sau construiește-ți planul de pregătire personalizat cu Prognoza Ta BAC.

Întrebări frecvente

Două teoreme complet diferite, scrise de același matematician (Pierre de Fermat) la diferență de câțiva ani. Teorema din analiză (în programa BAC) spune că derivata se anulează în puncte de extrem interioare derivabile. Marea Teoremă (NU în programa BAC) spune că ecuația

x^n + y^n = z^n

nu are soluții întregi nenule pentru

n \geq 3

. La examen folosești doar prima. Dacă scrii "conform teoremei lui Fermat" la o problemă cu derivate, examinatorul înțelege automat varianta din analiză.

Citește mai departe

Fermat e doar primul pas. Restul lanțului demonstrațiilor și aplicațiile concrete la subiectul III BAC le ai în articolele de mai jos:

•Teorema lui Rolle: demonstrație + 6 aplicații BAC rezolvate: pasul următor în lanțul Fermat $\Rightarrow$ Rolle $\Rightarrow$ Lagrange. Conține șirul lui Rolle pentru numărarea soluțiilor unei ecuații.
•Teorema lui Lagrange: demonstrație + 5 exerciții BAC rezolvate: generalizarea lui Rolle, cu construcția funcției auxiliare.
•Studiul monotoniei unei funcții cu derivate: algoritmul complet de tabel de variație, baza pe care decizi dacă un punct critic este extrem.
•Studiul funcției pas cu pas: schema BAC subiectul III: cele 8 etape ale studiului funcției, unde Fermat apare la pasul 6 (extreme).
•10 exerciții rezolvate cu derivate: practică ordonată pe dificultate, cu Fermat aplicat în 3 dintre cele 10 exerciții.
•Subiectul III BAC matematică: 7 tipare rezolvate: întregul plan de pregătire pentru subiectul III în 13 zile.

Dacă vrei să mergi mai departe pe lanțul de teoreme de medie, lecția Teorema de medie pentru integrala definită îți arată cum aceeași logică Fermat-Rolle-Lagrange se transferă din studiul funcției la integrale, cu animație și verificare interactivă.

Dacă vrei să verifici un calcul de derivată sau un punct de extrem fără să cauți manual prin formule, încearcă tutorul AI al Algebo: răspunde în română, în secunde, cu pașii completi.

Teorema lui Fermat: Demonstrație + 6 Aplicații BAC Rezolvate

Pe scurt: ce spune teorema lui Fermat

Ce spune teorema lui Fermat

Definiție: punct de extrem local

Definiție: punct interior

Enunțul teoremei lui Fermat

Demonstrația în 3 pași

Demonstrația în 4 pași (cazul maxim local)

Fixăm cazul: $x_0$ este maxim local

Limita laterală la dreapta: $f'_d(x_0) \leq 0$

Limita laterală la stânga: $f'_s(x_0) \geq 0$

Concluzia prin derivabilitate

Context istoric

Punctele critice și capcana reciprocii

Definiție: punct critic (sau punct staționar)

Cum verifici dacă un punct critic este extrem

Cum se folosește la BAC: 6 tipare rezolvate

De ce Fermat e fundamentul Rolle-Lagrange-Cauchy

Lanțul demonstrațiilor

Fermat: derivata se anulează în extreme interioare

Rolle: derivata se anulează în interior dacă $f(a) = f(b)$

Lagrange: derivata egalează panta coardei

Cauchy: generalizarea Lagrange la două funcții

4 capcane care răpesc puncte la BAC

Capcana 1: Concluzia inversată, $f'(x_0) = 0$ NU implică extrem

Capcana 2: Uitarea verificării derivabilității

Capcana 3: Aplicarea Fermat la capete de interval

Capcana 4: Confuzia Fermat din analiză cu Marea Teoremă a lui Fermat

Verifică-ți reflexele pe simulator BAC

Aplică tot ce ai învățat pe o simulare reală

Întrebări frecvente

Citește mai departe

Articole Similare

Subiectul III BAC Matematică: 7 Tipare Rezolvate Pas cu Pas

Cum Calculezi Determinantul Unei Matrice: 6 Exerciții BAC

Integrale Clasa 12: 10 Exerciții BAC Rezolvate Pas cu Pas

Teorema lui Bezout: Schema Horner + 6 Exerciții BAC Rezolvate

Pe scurt: ce spune teorema lui Fermat

Ce spune teorema lui Fermat

Definiție: punct de extrem local

Definiție: punct interior

Enunțul teoremei lui Fermat

Demonstrația în 3 pași

Demonstrația în 4 pași (cazul maxim local)

Fixăm cazul: x0x_0x0​ este maxim local

Limita laterală la dreapta: fd′(x0)≤0f'_d(x_0) \leq 0fd′​(x0​)≤0

Limita laterală la stânga: fs′(x0)≥0f'_s(x_0) \geq 0fs′​(x0​)≥0

Concluzia prin derivabilitate

Context istoric

Punctele critice și capcana reciprocii

Definiție: punct critic (sau punct staționar)

Cum verifici dacă un punct critic este extrem

Cum se folosește la BAC: 6 tipare rezolvate

De ce Fermat e fundamentul Rolle-Lagrange-Cauchy

Lanțul demonstrațiilor

Fermat: derivata se anulează în extreme interioare

Rolle: derivata se anulează în interior dacă f(a)=f(b)f(a) = f(b)f(a)=f(b)

Lagrange: derivata egalează panta coardei

Cauchy: generalizarea Lagrange la două funcții

4 capcane care răpesc puncte la BAC

Capcana 1: Concluzia inversată, f′(x0)=0f'(x_0) = 0f′(x0​)=0 NU implică extrem

Capcana 2: Uitarea verificării derivabilității

Capcana 3: Aplicarea Fermat la capete de interval

Capcana 4: Confuzia Fermat din analiză cu Marea Teoremă a lui Fermat

Verifică-ți reflexele pe simulator BAC

Aplică tot ce ai învățat pe o simulare reală

Întrebări frecvente

Citește mai departe

Articole Similare

Subiectul III BAC Matematică: 7 Tipare Rezolvate Pas cu Pas

Cum Calculezi Determinantul Unei Matrice: 6 Exerciții BAC

Integrale Clasa 12: 10 Exerciții BAC Rezolvate Pas cu Pas

Teorema lui Bezout: Schema Horner + 6 Exerciții BAC Rezolvate

Fixăm cazul: $x_0$ este maxim local

Limita laterală la dreapta: $f'_d(x_0) \leq 0$

Limita laterală la stânga: $f'_s(x_0) \geq 0$

Rolle: derivata se anulează în interior dacă $f(a) = f(b)$

Capcana 1: Concluzia inversată, $f'(x_0) = 0$ NU implică extrem