Derivate Clasa 11: 10 Exerciții BAC Rezolvate Pas cu Pas

Subiectul III, problema 1 la BAC matematică valorează $15$ puncte. Apare obligatoriu pe orice variantă (M1 mate-info, M2 științe ale naturii, tehnologic, pedagogic) și are întotdeauna o funcție derivabilă în prim-plan. Dacă astăzi e $7$ iunie $2026$, mai sunt $23$ de zile până la proba scrisă din $30$ iunie. Suficient cât să stăpânești cele $10$ tipare care apar an după an.

În articolul ăsta ai $10$ exerciții cu derivate rezolvate complet, ordonate exact ca pe subiectul oficial: primele $3$ acoperă cerința $(a)$ ($5$ puncte de calcul direct), următoarele $3$ acoperă cerința $(b)$ (ecuația tangentei și monotonia), ultimele $4$ acoperă cerința $(c)$ ($5$ puncte grele, cu studiul punctelor de extrem și aplicații Lagrange). Fiecare e scris cu KaTeX nativ, nu PDF cu poze, deci poți copia pașii direct pe foaie. La final, $4$ capcane care taie puncte la barem chiar și după ce ai învățat tabelul derivatelor.

Actualizat: iunie $2026$, pentru BAC matematică sesiunea iunie $2026$.

Cele $10$ exerciții urmează exact ordinea cerințelor BAC subiectul III.1. Exercițiile $1$, $2$ și $3$ sunt calcul direct cu cele trei reguli de bază (suma, produsul, câtul), exact tipul de derivată cerut la cerința $(a)$. Exercițiile $4$, $5$ și $6$ introduc regula lanțului (compoziția de funcții), derivata exponențialei și a logaritmului compus, și ecuația tangentei, ce apare la cerința $(b)$. Exercițiile $7$, $8$ și $9$ acoperă tehnica grea de la $(b)$ și $(c)$: definiția derivatei prin limită, studiul monotoniei cu tabel de semn și identificarea punctelor de extrem. Exercițiul $10$ combină derivata cu o aplicație a teoremei lui Lagrange pentru demonstrația unei inegalități, exact tiparul de la $(c)$ pe M1.

Fiecare exercițiu are: enunț scurt, rezolvare pas cu pas cu KaTeX, verificare sau interpretare, și o notă scurtă pentru contextul BAC. Apasă pe un exercițiu ca să vezi rezolvarea completă.

Înainte de a începe, fixează cele $10$ derivate elementare. Examinatorul presupune că le știi pe de rost, nu acceptă să le recalculezi pe foaie cu definiția.

| Funcție | Derivata | Domeniu |
|---|---|---|
| $c$ (constantă) | $0$ | $\mathbb{R}$ |
| $x^n$, $n \in \mathbb{N}^*$ | $n x^{n - 1}$ | $\mathbb{R}$ |
| $x^{\alpha}$, $\alpha \in \mathbb{R}$ | $\alpha x^{\alpha - 1}$ | $(0, \infty)$ |
| $\displaystyle \sqrt{x}$ | $\displaystyle \dfrac{1}{2 \sqrt{x}}$ | $(0, \infty)$ |
| $\dfrac{1}{x}$ | $-\dfrac{1}{x^2}$ | $\mathbb{R}^*$ |
| $e^x$ | $e^x$ | $\mathbb{R}$ |
| $\ln x$ | $\dfrac{1}{x}$ | $(0, \infty)$ |
| $\sin x$ | $\cos x$ | $\mathbb{R}$ |
| $\cos x$ | $-\sin x$ | $\mathbb{R}$ |
| $\operatorname{tg} x$ | $\dfrac{1}{\cos^2 x}$ | $x \neq \dfrac{\pi}{2} + k \pi$ |

Și cele patru reguli de combinație pe care le aplici peste tabel:

Cu astea șapte formule rezolvi $90 \%$ din ce poate cere subiectul III.1. Restul de $10 \%$ înseamnă derivata definită prin limită (exercițiul $7$) și combinații cu teorema lui Lagrange (exercițiul $10$).

Apasă pe titlul unui exercițiu ca să vezi rezolvarea completă. Primul e deschis implicit, pentru a-ți arăta nivelul de detaliu pe care ți-l dă fiecare card.

Următoarele patru greșeli apar în mod repetat la corectare, conform baremului oficial al BAC matematică. Le-am ordonat după frecvență, de la cea care taie cele mai multe puncte la cea care taie cele mai puține.

Pentru o pregătire completă a subiectului III BAC, citește următoarele articole din colecția Algebo de analiză matematică:

• •Studiul monotoniei unei funcții cu derivate: algoritm și 3 tipare BAC folosește exact derivatele calculate în exercițiile $1$ până la $5$ pentru cerința $(b)$ a subiectului III.1.
• •Teorema lui Lagrange: demonstrație și 5 aplicații BAC e teorema-cheie pe care o aplici la cerința $(c)$ pentru demonstrații de inegalitate, exact ca în exercițiul $10$.
• •Teorema lui Rolle: demonstrație și 6 aplicații BAC e complementul lui Lagrange, folosit pentru găsirea soluțiilor unei ecuații.
• •Aria sub grafic: formula și 3 tipare BAC acoperă cerința III.2 (integrale), unde derivatele se inversează: vezi lecția Algebo despre primitive ca operația inversă a derivării.
• •Studiul funcției pas cu pas: schema BAC subiectul III în 8 pași e sinteza care leagă derivatele, monotonia, extremele și asimptotele într-un singur algoritm.