Studiul Monotoniei Unei Funcții: Algoritm + 3 Exerciții BAC

Subiectul III, problema 1, cerința (b). În față ai funcția $f(x) = \dfrac{x^2 + 1}{x}$ și examinatorul îți cere intervalele de monotonie. Calculezi derivata, dar la tabelul de semne pierzi firul, semnele lui $f'$ devin un zid, iar concluzia pleacă fără tine cu 5 puncte din total.

Articolul ăsta îți dă algoritmul complet în 5 pași, teorema-cheie pe care examinatorul vrea să o vadă scrisă explicit (consecința lui Lagrange) și 3 tipare BAC rezolvate complet: polinom, funcție rațională, funcție cu logaritm. La final, 5 capcane care răpesc puncte chiar și după ce înțelegi conceptul.

Actualizat: iunie 2026, pentru BAC matematică sesiunea iunie 2026.

Înainte să atingi derivata, fixează definiția. Monotonia descrie direcția în care merge funcția pe un interval: crescătoare dacă urcă, descrescătoare dacă coboară. Distincția pe care examinatorii o testează la barem este strict vs larg.

O funcție $f: I \to \mathbb{R}$ este:

• •strict crescătoare pe $I$ dacă pentru orice $x_1 < x_2$ din $I$ avem $f(x_1) < f(x_2)$ (inegalitate strictă);
• •crescătoare în sens larg pe $I$ dacă pentru orice $x_1 < x_2$ avem $f(x_1) \leq f(x_2)$ (admite egalitate);
• •strict descrescătoare dacă $f(x_1) > f(x_2)$ pentru orice $x_1 < x_2$;
• •descrescătoare în sens larg dacă $f(x_1) \geq f(x_2)$ pentru orice $x_1 < x_2$.

La BAC, când enunțul cere doar "monotonia funcției", răspunsul corect este monotonia strictă (atunci când e cazul). Confuzia între strict și larg costă puncte la barem, mai ales când derivata se anulează în puncte izolate.

Conexiunea dintre derivată și monotonie nu este o axiomă, este o consecință a teoremei lui Lagrange. La examen, când scrii "$f$ este strict crescătoare deoarece $f' > 0$", examinatorul caută la barem două lucruri: regula corectă și (opțional, dar foarte apreciat) justificarea ei prin Lagrange. Iată regula completă, în cele patru variante.

Demonstrația Regulii 1 merge în două rânduri. Iei $x_1 < x_2$ două puncte oarecare din $I$. Funcția $f$ este continuă pe $[x_1, x_2]$ și derivabilă pe $(x_1, x_2)$ (ipotezele teoremei). Conform teoremei lui Lagrange, există $c \in (x_1, x_2)$ astfel încât:

Dar $f'(c) > 0$ din ipoteză, iar $x_2 - x_1 > 0$ pentru că $x_1 < x_2$. Produsul a doi factori strict pozitivi este strict pozitiv, deci $f(x_2) - f(x_1) > 0$, adică $f(x_2) > f(x_1)$. Asta înseamnă strict crescătoare. $\blacksquare$

La examen, când scrii "conform consecinței teoremei lui Lagrange, $f$ este strict crescătoare pe $I$", adaugi 1 punct la cerință față de a scrie doar "deoarece $f' > 0$". Examinatorii apreciază justificarea formală, mai ales la subiectul III, problema 2, cerința (c).

Algoritmul de mai jos îți dă schema mecanică pentru orice funcție pe care examinatorul ți-o pune în față la subiectul III. Aplică pașii în ordine, fără să sari nici unul. Cele mai multe greșeli pleacă din omiterea pasului 1 (domeniul) sau din pasul 3 (uitarea punctelor unde derivata nu există).

Subiectul III la BAC alege aproape întotdeauna una dintre 3 familii de funcții pentru cerința de monotonie: polinom (cel mai des, problema 1), funcție rațională (problema 2, cu domeniu disconectat) și funcție transcendentă cu logaritm sau exponențială (problema 2, cerința (c) cu inegalitate). Cu cele 3 tipare în reflex, acoperi peste 95% din variantele oficiale.

Algoritmul în 5 pași funcționează direct doar când derivata există peste tot în $D$. Există însă funcții importante pentru BAC unde $f'$ nu este definită în anumite puncte din $D$: modul, radical de ordin par la 0, funcții definite pe ramuri (piecewise). Aceste puncte sunt puncte critice prin definiție (pasul 3, condiția (b)), chiar dacă $f'(x) = 0$ nu se rezolvă acolo.

Strategia generală. La pasul 3 al algoritmului, include și punctele din $D$ unde $f'$ nu există. Le adaugi în lista de puncte critice, le ordonezi crescător împreună cu zerourile lui $f'$. La pasul 4, calculezi limitele laterale $\lim_{x \to a^-} f'(x)$ și $\lim_{x \to a^+} f'(x)$ pentru a stabili semnul lui $f'$ de o parte și de alta. Comportamentul lui $f$ în jurul lui $a$ se citește din semnele acelor limite, nu din $f'(a)$ care nu există.

Tabelul de variație este forma vizuală în care examinatorul așteaptă să vadă rezultatul tău. Are 3 rânduri și convenții stricte de formatare. Iată cum arată tabelul pentru Tiparul 1 ($f(x) = x^3 - 3x + 1$):

Convențiile la barem.

Rândul 1 (variabila $x$). Scrii capetele domeniului ($-\infty$, $+\infty$, sau valori finite la frontiera lui $D$) și toate punctele critice, în ordine crescătoare. Marchezi cu linie verticală groasă (sau $|$) punctele unde $f$ nu este definită.

Rândul 2 (semnul lui $f'$). Sub fiecare sub-interval scrii $+$ sau $-$. Sub fiecare punct critic unde $f'(x) = 0$, scrii $0$. Sub punctele unde $f'$ nu există, scrii $\nexists$ sau o liniuță.

Rândul 3 (variația lui $f$). Folosești săgețile $\nearrow$ (strict crescătoare) și $\searrow$ (strict descrescătoare). Sub punctele critice scrii valoarea $f(x_i)$ (o calculezi explicit) și etichetezi max local sau min local.

Concluzia în text. După tabel, întotdeauna scrii o frază explicită: "Funcția $f$ este strict crescătoare pe ... și strict descrescătoare pe ...". Examinatorul caută această frază pentru ultimul punct al cerinței. Fără ea, pierzi 1 punct chiar dacă tabelul este corect.

După ce ai algoritmul, capcanele examenului apar mereu pe aceeași listă. Ordinea de mai jos urmărește frecvența la barem, de la greșeala cu pierderea cea mai mare la cea minoră.

O confuzie frecventă la subiectul III: derivata I controlează monotonia, derivata a II-a controlează convexitatea. Nu le amesteca.

• •$f' > 0$ pe $I$ implică $f$ strict crescătoare pe $I$ (acest articol).
• •$f'' > 0$ pe $I$ implică $f$ strict convexă pe $I$ (altă cerință din subiectul III).

Cele două teme se intersectează la punctele de inflexiune (unde $f''$ schimbă semn) și la studiul complet al funcției (unde le combini cu asimptotele și tabelul global). La examen, cerința "studiați monotonia funcției" se referă exclusiv la derivata I. Nu intra în concavitate decât dacă enunțul cere explicit "convexitate" sau "puncte de inflexiune".

Articole de pe Algebo care extind tema, ordonate după prioritatea pentru BAC:

• •Studiul funcției pas cu pas: schema BAC subiectul III în 8 pași: cealaltă jumătate, schema completă pentru cerințele (a), (b) și (c) pe orice funcție. Pasul 7 al schemei (monotonie) este exact ce ai învățat aici, plus pașii 1 până la 6 și 8 pentru contextul complet (asimptote, intersecții, simetrii, grafic).
• •Teorema lui Lagrange: demonstrație și 5 exerciții BAC rezolvate: teorema-rădăcină care justifică Regula 1 din acest articol. Citește dacă vrei să adaugi justificarea formală la cerința de monotonie pentru 1 punct în plus la barem.
• •Teorema lui Rolle: demonstrație și 6 aplicații BAC rezolvate: cu Rolle (și șirul lui Rolle) poți număra schimbările de semn ale derivatei mai eficient când $f'$ are multe rădăcini, util pentru Tiparul 1 din acest articol.
• •Cum se calculează limita unei funcții: 7 nedeterminări: companion la studiul monotoniei, deoarece evaluările $\lim_{x \to \pm \infty} f(x)$ sunt obligatorii pentru capetele tabelului de variație (vezi Tiparele 1 și 2).
• •Subiectul 3 BAC matematică: ghid complet pentru derivate și integrale: privire de ansamblu peste toate tiparele subiectului III, dincolo de monotonie.

Pentru capitolele platformei pe care le tangentează direct tema:

• •Capitolul Polinoame: factorizarea derivatei (Tiparul 1) este pasul-cheie al studiului monotoniei pentru funcții polinomiale. Capitolul îți dă tehnicile complete: schema Horner, teorema lui Bezout, rădăcini raționale.
• •Capitolul Primitive (Integrala Nedefinită): aici aplici concret reciproca "$f' \equiv 0 \Rightarrow f$ constantă" pentru constanta $+C$ a primitivelor.
• •Antrenament direct pe variante BAC reale cu derivate: seturi de exerciții filtrate pe tema derivatelor, cu corectare automată.