Teorema lui Lagrange: Demonstrație + 5 Exerciții BAC Rezolvate

Subiectul III, problema cu o funcție continuă pe $[a, b]$ și derivabilă pe $(a, b)$. Cerința (c) îți cere să demonstrezi o inegalitate. Mai ai 18 minute și îți trebuie teorema lui Lagrange, dar n-o aplici curat. Cinci puncte din notă se duc, deși ai învățat teorema pe de rost cu trei luni înainte.

Articolul ăsta îți dă enunțul exact, demonstrația prin Rolle pas cu pas și 5 tipare de exerciții care apar la subiectul III. La final, 4 capcane care te costă puncte chiar și după ce stăpânești formula.

Actualizat: mai 2026, pentru BAC matematică sesiunea iunie 2026.

Lagrange leagă două lucruri pe care le-ai studiat separat în clasa a XI-a: derivata într-un punct (panta tangentei) și creșterea finită a funcției (panta coardei care taie graficul între capete). Teorema spune că ele coincid în cel puțin un punct din interiorul intervalului.

Iată enunțul exact, așa cum îl regăsești în programa M1 și M2 la capitolul Funcții derivabile.

Cum se citește geometric. Coarda dintre punctele $A(a, f(a))$ și $B(b, f(b))$ are panta $\displaystyle \frac{f(b) - f(a)}{b - a}$. Teorema spune că există un $c$ pe interval unde tangenta la grafic e paralelă cu coarda. Practic, dacă mergi de la $A$ la $B$ urmărind graficul, la un moment dat trebuie să mergi în exact aceeași direcție cu segmentul $AB$.

Mai concret, imaginează-ți o cursă pe autostradă. Faci $200$ km în $2$ ore, viteza medie este $100$ km/h. Lagrange spune că a existat cel puțin un moment când vitezometrul tău a arătat fix $100$ km/h. Nu poți să obții o viteză medie fără să atingi acea valoare cândva pe drum.

Asta e ideea, transferată în matematică: media diferențelor (panta coardei) e atinsă exact ca derivată instantanee în cel puțin un punct interior.

Cele două ipoteze nu sunt simetrice și nu sunt opționale. Le confunzi sau le sari, pierzi punctele la examen chiar dacă scrii formula corect.

Condiția 1: continuitate pe intervalul închis $[a, b]$.

Continuitatea trebuie să țină inclusiv la capetele $a$ și $b$. Asta înseamnă $\lim_{x \to a^+} f(x) = f(a)$ și $\lim_{x \to b^-} f(x) = f(b)$. Dacă funcția are un salt în $a$ sau în $b$, teorema nu se aplică, oricât de cuminte ar fi pe interior.

Pentru funcții elementare standard (polinoame, exponențiale, sinus, cosinus, $\ln$ pe $(0, +\infty)$, $\displaystyle \sqrt{x}$ pe $[0, +\infty)$), continuitatea pe intervalul de definiție e automată. Verifici doar că intervalul $[a, b]$ ales încape în domeniu.

Condiția 2: derivabilitate pe intervalul deschis $(a, b)$.

Atenție la detaliul cel mai vânat de examinatori: derivabilitatea se cere doar pe intervalul deschis. La capete nu e nevoie ca derivata să existe, doar de continuitate. Asta îți permite să aplici Lagrange pe funcții care nu sunt derivabile la capete, de exemplu $\displaystyle f(x) = \sqrt{x}$ pe $[0, 1]$. Derivata $\displaystyle f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}}$ explodează în $x = 0$, dar $f$ rămâne continuă în $0$, deci teorema e valabilă.

De ce contează fiecare condiție?

Fără continuitate la capete. Considerăm $f: [0, 1] \to \mathbb{R}$, $f(x) = x$ pentru $x \in [0, 1)$ și $f(1) = 0$. Coarda are panta $\displaystyle \frac{f(1) - f(0)}{1 - 0} = -1$. Derivata $f'(x) = 1$ pe tot intervalul $(0, 1)$. Nu există niciun $c$ cu $f'(c) = -1$. Teorema cade pentru că funcția are salt în $x = 1$.

Fără derivabilitate în interior. Considerăm $f(x) = |x|$ pe $[-1, 1]$. Coarda are panta $0$. Derivata e $-1$ pe $(-1, 0)$ și $+1$ pe $(0, 1)$, niciodată $0$. Funcția nu e derivabilă în $x = 0$, deci ipoteza cade și concluzia nu se aplică.

Două contraexemple simple, dar care confirmă: fiecare ipoteză e necesară, niciuna nu poate fi relaxată.

Demonstrația folosește un truc clasic din analiza matematică: construiești o funcție auxiliară care satisface ipotezele lui Rolle, apoi traduci concluzia înapoi la funcția originală.

Notezi cu $k$ panta coardei, $\displaystyle k = \frac{f(b) - f(a)}{b - a}$. Vrei să arăți că există $c \in (a, b)$ cu $f'(c) = k$.

Lagrange apare la BAC subiectul III sub aceleași 5 forme an după an. Mai jos ai fiecare tipar cu o problemă reprezentativă rezolvată complet. Citește enunțul, încearcă mental rezolvarea, apoi extinde panoul pentru a vedea pașii. Tipar după tipar, vei recunoaște exact ce să faci când vezi una similară pe foaia de examen.

Cele trei teoreme de medie din analiza matematică se înrudesc strâns. La examen e ușor să le confunzi sau să aplici cea greșită. Tabelul de mai jos îți dă rapid diferențele, după care îți arăt regula simplă de alegere.

Regula de alegere în 3 pași la examen:

1. Dacă enunțul îți spune $f(a) = f(b)$ sau dacă observi tu însuți că $f(a) = f(b)$ după o transformare, folosești Rolle.
2. Dacă enunțul cere o inegalitate sau o evaluare a unei diferențe $f(b) - f(a)$, folosești Lagrange.
3. Dacă apar două funcții împreună (un raport, demonstrația lui l'Hôpital, comparare $f$ cu $g$), folosești Cauchy.

În peste 90% din cerințele BAC de la subiectul III care invocă o teoremă de medie, răspunsul corect este Lagrange. Rolle apare în problemele care întreabă "câte soluții are ecuația $f(x) = a$". Cauchy apare ocazional și e indicat explicit în enunț, niciodată nu e ascuns.

Teorema lui Lagrange pare curată: două ipoteze, o concluzie. Dar examinatorii de BAC știu exact unde să pună capcana. Iată cele patru greșeli care apar an după an în baremurile oficiale, fiecare cu indicația exactă de cum o eviți.

Articole de pe Algebo care extind tema, ordonate după prioritatea pentru BAC:

• •Studiul funcției pas cu pas: schema BAC subiectul III în 8 pași: cealaltă jumătate a subiectului III, schema mecanică pentru rezolvarea cerințelor (a), (b), (c) pe orice funcție.
• •Subiectul 3 BAC matematică: ghid complet pentru derivate și integrale: privire de ansamblu peste toate tipare ale subiectului III, dincolo de teoremele de medie.
• •Plan de recuperare BAC matematică în ultimele 30 de zile: dacă citești asta în mai sau iunie 2026, planul îți spune când să integrezi Lagrange în program.
• •Formule BAC matematică 2026: tabel complet M1 și M2: derivatele și primitivele de care ai nevoie pentru a aplica Lagrange rapid pe orice funcție.
• •10 greșeli frecvente la BAC matematică: companion la cele 4 capcane de mai sus, cu alte 6 greșeli de la subiectele I și II.

Pentru capitolele platformei pe care le tangentează direct teorema Lagrange:

• •Capitolul Primitive (Integrala Nedefinită): aici aplici concret Tiparul 3 ($f' = 0 \Rightarrow f$ constantă), care este fundamentul noțiunii de "constanta $+C$" la primitive.
• •Capitolul Integrala Definită: formula Leibniz-Newton derivă din Lagrange aplicat pe sub-intervale; vezi demonstrația pas cu pas în lecție.
• •Capitolul Aplicații ale Integralei Definite: aria sub grafic și volumul corpurilor folosesc mărginirea derivatei (Tiparul 4) pentru estimări de eroare.