Cum Calculezi Determinantul Unei Matrice: 6 Exerciții BAC

Subiectul II.1 la BAC matematică profil M2 începe aproape mereu cu o matrice de ordin $2$ sau $3$ și o cerință de tip calculează determinantul, arată că matricea e inversabilă sau determină parametrul pentru care determinantul e zero. Pe profil M1 apare la subiectul II.1 ca exercițiu mixt cu sistem de ecuații și pe subiectul III ocazional ca verificare a injectivității unei aplicații liniare. Total: $15$ puncte directe pe orice variantă oficială plus $5$ până la $10$ puncte indirecte (matrice inversă, sisteme Cramer, rang) care depind toate de un singur calcul: determinantul.

Astăzi e $15$ iunie $2026$ și mai sunt $15$ zile până la proba scrisă din $30$ iunie. Suficient cât să stăpânești complet capitolul determinanți chiar dacă pleci de la zero. În articolul de față ai: formula directă pentru $2 \times 2$ (memorezi în $30$ de secunde), regula lui Sarrus pentru $3 \times 3$ (cu un truc anti-eroare la semn), dezvoltarea Laplace pentru orice ordin (cu trucul coloanei cu zerouri care îți taie calculul la jumătate), $6$ proprietăți care îți scurtează exercițiile lungi cu până la $80\%$ , $6$ exerciții BAC rezolvate pas cu pas ordonate ca pe subiectele oficiale, și $4$ capcane care taie puncte la barem chiar și după ce ai înțeles teoria.

Actualizat: iunie $2026$ , pentru BAC matematică sesiunea iunie $2026$ .

lightbulb

De reținut

Pe scurt: cum calculezi orice determinant la BAC

Pentru o matrice

2 \times 2

\det \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} = ad - bc

. Pentru

3 \times 3

folosești regula lui Sarrus: copiezi primele două coloane în dreapta matricei, aduni produsele de pe cele

3

diagonale descendente și scazi produsele de pe cele

3

diagonale ascendente. Pentru orice ordin

n \geq 2

folosești dezvoltarea Laplace după linia sau coloana cu cele mai multe zerouri:

\det A = \sum_{j=1}^{n} (-1)^{i+j} a_{ij} M_{ij}

, unde

M_{ij}

este minorul (determinantul matricei rămase după ștergerea liniei

i

și coloanei

j

). Înainte de orice calcul, verifică dacă o proprietate (

2

linii proporționale, o linie de zerouri, matrice triunghiulară) îți dă instant răspunsul.

Determinantul: ce este și de ce contează la BAC

Determinantul este o funcție care asociază fiecărei matrice pătrate $A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ un număr real, notat $\det A$ sau $|A|$ . La BAC, $n \in \{2, 3\}$ aproape mereu, cu un singur tipar de subiectul III pe M1 care poate cere $n = 4$ printr-o dezvoltare Laplace.

Determinantul are două roluri practice pentru tine:

1.Caracterizează inversabilitatea matricei. Pentru $A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ , matricea este inversabilă dacă și numai dacă $\det A \neq 0$ . Atunci $\displaystyle A^{-1} = \frac{1}{\det A} \cdot A^{\ast}$ , unde $A^{\ast}$ este adjuncta (transpusa matricei cofactorilor). La BAC, cerința arată că matricea $A$ admite inversă se reduce la un singur calcul: $\det A \neq 0$ .
2.Caracterizează compatibilitatea sistemelor liniare. Pentru un sistem $A X = B$ cu $A$ matrice pătrată, sistemul are soluție unică dacă și numai dacă $\det A \neq 0$ (sistem Cramer). În acel caz, $x_k = \dfrac{\det A_k}{\det A}$ , unde $A_k$ este matricea $A$ cu coloana $k$ înlocuită de coloana termenilor liberi $B$ .

Geometric, $|\det A|$ reprezintă factorul de scalare al volumului sub aplicația liniară definită de $A$ . Pentru $n = 2$ , e aria paralelogramului format de cele două coloane ale lui $A$ privite ca vectori. Pentru $n = 3$ , e volumul paralelipipedului. Semnul lui $\det A$ îți spune dacă aplicația liniară păstrează sau inversează orientarea. Această interpretare nu intră direct în barem la BAC, dar ajută la intuiție, mai ales la cerința $(c)$ de pe subiectul II.1 unde se cere uneori interpretarea geometrică (vezi exercițiul $6$ pentru un exemplu Vandermonde).

Determinant 2x2: formula directă în 5 secunde

Pentru o matrice $A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$ , determinantul este:

\det A = \begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix} = a \cdot d - b \cdot c.

Memnotehnică: produsul diagonalei principale minus produsul diagonalei secundare. Direct, fără pași intermediari. Asta e tot ce trebuie pentru ordinul $2$ .

Exemplu rapid. Pentru $A = \begin{pmatrix} 3 & 5 \\ 2 & 4 \end{pmatrix}$ , $\det A = 3 \cdot 4 - 5 \cdot 2 = 12 - 10 = 2$ . Cinci secunde de mână. Asta e timpul țintă pe care îl vrei pe orice $2 \times 2$ la BAC.

Notă BAC

Pe Subiectul I (item de

5

puncte) apare ocazional o întrebare de tip Calculați $\det A$ pentru $A = \begin{pmatrix} \sin x & \cos x \\ -\cos x & \sin x \end{pmatrix}$ . Răspunsul e

\sin^2 x + \cos^2 x = 1

(identitatea fundamentală trigonometrică). Calculul ia

10

secunde dacă recunoști pattern-ul; cei care încearcă să calculeze fără să recunoască identitatea pierd un minut și uneori greșesc semnul.

Determinant 3x3: Sarrus, regula triunghiului, ce să folosești

Pentru o matrice $A = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{pmatrix}$ , regula lui Sarrus spune:

\det A = a_{11} a_{22} a_{33} + a_{12} a_{23} a_{31} + a_{13} a_{21} a_{32} - a_{13} a_{22} a_{31} - a_{11} a_{23} a_{32} - a_{12} a_{21} a_{33}.

Procedura mecanică: copiezi primele două coloane în dreapta matricei (obții un dreptunghi $3 \times 5$ ), aduni produsele de pe cele $3$ diagonale descendente (de la stânga sus la dreapta jos), scazi produsele de pe cele $3$ diagonale ascendente (de la stânga jos la dreapta sus). În total $3 + 3 = 6$ produse de câte $3$ factori, plus $5$ operații de adunare sau scădere. Maximum $90$ de secunde pe orice $3 \times 3$ numeric.

Termen

Semn

Diagonala

a_{11} a_{22} a_{33}

+

principală (descendentă)

a_{12} a_{23} a_{31}

+

descendentă 2

a_{13} a_{21} a_{32}

+

descendentă 3

a_{13} a_{22} a_{31}

-

secundară (ascendentă)

a_{11} a_{23} a_{32}

-

ascendentă 2

a_{12} a_{21} a_{33}

-

ascendentă 3

Termen

a_{11} a_{22} a_{33}

Semn

+

Diagonalaprincipală (descendentă)

Termen

a_{12} a_{23} a_{31}

Semn

+

Diagonaladescendentă 2

Termen

a_{13} a_{21} a_{32}

Semn

+

Diagonaladescendentă 3

Termen

a_{13} a_{22} a_{31}

Semn

-

Diagonalasecundară (ascendentă)

Termen

a_{11} a_{23} a_{32}

Semn

-

Diagonalaascendentă 2

Termen

a_{12} a_{21} a_{33}

Semn

-

Diagonalaascendentă 3

Cei 6 termeni ai regulii lui Sarrus pentru o matrice 3x3 generică

Exemplu rezolvat. Calculează $\det A$ pentru $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 4 & 5 \\ 1 & 0 & 6 \end{pmatrix}$ .

Pasul $1$ : cele $3$ produse descendente (semn $+$ ):

1 \cdot 4 \cdot 6 + 2 \cdot 5 \cdot 1 + 3 \cdot 0 \cdot 0 = 24 + 10 + 0 = 34.

Pasul $2$ : cele $3$ produse ascendente (semn $-$ ):

3 \cdot 4 \cdot 1 + 1 \cdot 5 \cdot 0 + 2 \cdot 0 \cdot 6 = 12 + 0 + 0 = 12.

Pasul $3$ : scădere finală.

\det A = 34 - 12 = 22.

Calcul total: sub un minut, după ce ai exersat pattern-ul de câteva ori. Asta e nivelul de la care pleci pentru orice $3 \times 3$ numeric.

Alternativa: regula triunghiului. Aceeași formulă, doar reprezentată grafic diferit. Termenii pozitivi sunt: diagonala principală $a_{11} a_{22} a_{33}$ plus două triunghiuri cu baza paralelă cu diagonala principală ( $a_{12} a_{23} a_{31}$ și $a_{13} a_{21} a_{32}$ ). Termenii negativi sunt: diagonala secundară $a_{13} a_{22} a_{31}$ plus două triunghiuri cu baza paralelă cu diagonala secundară. Rezultatul e identic cu Sarrus; alegerea între cele două e pur de preferință vizuală.

Atenție: Sarrus nu se aplică la ordin n ≥ 4

Atât regula lui Sarrus, cât și regula triunghiului funcționează exclusiv pentru ordin

3

. Pentru

4 \times 4

5 \times 5

sau orice ordin superior, NU poți extinde Sarrus copiind

3

coloane în dreapta. Tentația apare des pe subiectul III de pe M1, unde poate apărea un

4 \times 4

. Singura metodă corectă pentru

n \geq 4

este dezvoltarea Laplace (secțiunea următoare) sau reducerea la formă triunghiulară prin operații elementare pe linii (vezi proprietatea

5

mai jos).

Dezvoltarea Laplace: orice ordin, decizia smart

Pentru o matrice $A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ și un element $a_{ij}$ (din linia $i$ , coloana $j$ ), definim:

•Minorul $M_{ij}$ este determinantul matricei de ordin $n - 1$ obținute prin ștergerea liniei $i$ și coloanei $j$ din $A$ .
•Complementul algebric (sau cofactorul) este $\Gamma_{ij} = (-1)^{i+j} \cdot M_{ij}$ . Semnul $(-1)^{i+j}$ urmează un șablon de tablă de șah pornind de la $+$ în colțul stânga-sus:

\begin{pmatrix} + & - & + & \cdots \\ - & + & - & \cdots \\ + & - & + & \cdots \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots \end{pmatrix}.

La intersecția liniei $i$ cu coloana $j$ , semnul e $+$ dacă $i + j$ e par, și $-$ dacă $i + j$ e impar.

Dezvoltarea Laplace după linia $i$ :

\det A = \sum_{j=1}^{n} a_{ij} \cdot \Gamma_{ij} = a_{i1} \Gamma_{i1} + a_{i2} \Gamma_{i2} + \cdots + a_{in} \Gamma_{in}.

Dezvoltarea Laplace după coloana $j$ :

\det A = \sum_{i=1}^{n} a_{ij} \cdot \Gamma_{ij} = a_{1j} \Gamma_{1j} + a_{2j} \Gamma_{2j} + \cdots + a_{nj} \Gamma_{nj}.

Ambele formule dau exact același rezultat. Trucul de viteză: alegi linia sau coloana cu cele mai multe zerouri. Fiecare zero înmulțit cu cofactorul lui dă $0$ , deci pasul respectiv dispare din sumă. O coloană cu trei zerouri într-o matrice $4 \times 4$ îți reduce calculul la un singur determinant $3 \times 3$ în loc de patru. De aici trucul coloanei cu zerouri.

Exemplu rezolvat $4 \times 4$ cu coloană de zerouri. Calculează

\det A = \begin{vmatrix} 2 & 1 & 0 & 3 \\ 4 & -1 & 0 & 2 \\ 1 & 5 & 0 & -1 \\ 3 & 2 & 7 & 0 \end{vmatrix}.

Pasul $1$ : identifici coloana cu cele mai multe zerouri. Coloana $3$ are trei zerouri (în liniile $1$ , $2$ , $3$ ) și un singur element nenul: $a_{43} = 7$ .

Pasul $2$ : dezvolți după coloana $3$ . Doar termenul cu $a_{43}$ supraviețuiește:

\det A = a_{43} \cdot \Gamma_{43} = 7 \cdot (-1)^{4+3} \cdot M_{43} = -7 \cdot M_{43},

unde $M_{43}$ e determinantul $3 \times 3$ obținut ștergând linia $4$ și coloana $3$ :

M_{43} = \begin{vmatrix} 2 & 1 & 3 \\ 4 & -1 & 2 \\ 1 & 5 & -1 \end{vmatrix}.

Pasul $3$ : aplici Sarrus pe $M_{43}$ .

Produse descendente: $2 \cdot (-1) \cdot (-1) + 1 \cdot 2 \cdot 1 + 3 \cdot 4 \cdot 5 = 2 + 2 + 60 = 64$ .

Produse ascendente: $3 \cdot (-1) \cdot 1 + 2 \cdot 2 \cdot 5 + 1 \cdot 4 \cdot (-1) = -3 + 20 - 4 = 13$ .

Deci $M_{43} = 64 - 13 = 51$ .

Pasul $4$ : rezultatul final.

\det A = -7 \cdot 51 = -357.

Timpul total: sub $3$ minute. Dezvoltarea direct după liniile $1$ , $2$ sau $3$ (care nu au pattern de zerouri) ar fi cerut patru determinanți $3 \times 3$ și sub $10$ minute. Citirea coloanei cu zerouri taie timpul la jumătate, garantat.

6 proprietăți care îți scurtează calculul cu 80%

Aceste $6$ proprietăți transformă calculul brut într-un calcul rapid sau, în cele mai bune cazuri, în zero calcul deloc. Le verifici înainte de a desena tabelul Sarrus sau de a porni Laplace.

Proprietatea $1$ : determinantul transpusei. $\det A^{T} = \det A$ . Consecință: orice afirmație despre linii e validă și pentru coloane. Dacă o coloană e mai ușor de manipulat decât o linie, lucrezi pe coloană.

Proprietatea $2$ : linie (sau coloană) de zerouri. Dacă o linie sau o coloană a matricei e formată complet din $0$ , atunci $\det A = 0$ . Verifică asta în $2$ secunde înainte de orice altceva.

Proprietatea $3$ : două linii (sau coloane) proporționale. Dacă o linie $L_i$ e multiplul cu un scalar $\alpha$ al unei alte linii $L_j$ (de exemplu $L_2 = 3 L_1$ ), atunci $\det A = 0$ . Caz particular: două linii identice $\Rightarrow$ determinant zero. Aceeași regulă pentru coloane.

Proprietatea $4$ : înmulțirea unei linii cu un scalar. Dacă înmulțești o singură linie a lui $A$ cu un scalar $\alpha$ , determinantul se înmulțește cu $\alpha$ . Generalizat: dacă $A' = \alpha A$ (toate elementele înmulțite cu $\alpha$ , nu doar o linie), atunci

\det(\alpha A) = \alpha^{n} \det A,

unde $n$ este ordinul matricei. Atenție capcană: nu confunda $\det(\alpha A) = \alpha \det A$ (fals pentru $n \geq 2$ ) cu formula corectă $\det(\alpha A) = \alpha^n \det A$ . Apariție frecventă la cerința $(c)$ pe Subiectul II.1.

Proprietatea $5$ : adunarea unui multiplu al unei linii la altă linie. Dacă $L_i \to L_i + \alpha L_j$ pentru $i \neq j$ , atunci determinantul nu se schimbă. Aceasta e proprietatea de aur: îți permite să creezi zerouri într-o coloană (sau linie) prin operații elementare, fără să modifici valoarea determinantului. Combinată cu dezvoltarea Laplace pe coloana cu zerouri create, taie calculul masiv. La $4 \times 4$ pe M1, fără această tehnică, calculul devine impractic la BAC.

Proprietatea $6$ : determinantul produsului. Pentru două matrice pătrate de același ordin,

\det(A \cdot B) = \det A \cdot \det B.

Consecințe utile: $\det(A^{k}) = (\det A)^{k}$ pentru orice $k \geq 0$ . Pentru matrice inversabilă, $\det(A^{-1}) = \dfrac{1}{\det A}$ . Atenție capcană: $\det(A + B) \neq \det A + \det B$ în general. Nu există formulă similară pentru suma matricelor.

Bonus 1: matrice triunghiulară. Pentru o matrice triunghiulară (superior sau inferior), determinantul este produsul elementelor de pe diagonala principală:

\det A = a_{11} \cdot a_{22} \cdot \ldots \cdot a_{nn}.

La fel pentru matrice diagonală. Apariție frecventă la subiectul II.1 cu o matrice de tip $A = \begin{pmatrix} x & 0 & 0 \\ 1 & y & 0 \\ 2 & 3 & z \end{pmatrix}$ , unde $\det A = xyz$ direct, fără Sarrus.

Arborele de decizie: ce metodă folosești pentru fiecare ordin

Înainte de orice calcul, parcurge mental următorul arbore. Cu disciplină, ajungi la metoda corectă în $10$ secunde.

Pasul $0$ : verifică proprietățile $2$ și $3$ . O linie sau coloană de zerouri, două linii proporționale, două linii identice. Dacă da, răspunsul e $0$ . Direct, fără calcul.

Pasul $1$ : verifică dacă matricea e triunghiulară sau diagonală. Dacă da, $\det A$ e produsul elementelor de pe diagonala principală. Sub $10$ secunde de calcul.

Pasul $2$ : alege metoda în funcție de ordin.

•Ordin $2$ : formula directă $ad - bc$ .
•Ordin $3$ : regula lui Sarrus (sau regula triunghiului, după preferință). Dezvoltarea Laplace e o opțiune dacă o linie sau o coloană are deja zerouri ( $a_{ij} = 0$ pentru $2$ sau $3$ poziții).
•Ordin $\geq 4$ : dezvoltarea Laplace este obligatorie. Caută linia sau coloana cu cele mai multe zerouri. Dacă matricea nu are zerouri evidente, aplică proprietatea $5$ (combinații liniare pe linii) pentru a crea zerouri, apoi dezvoltă Laplace.

Pasul $3$ : înainte de pasul $4$ , verifică dacă matricea are o structură specială. Vandermonde, Cauchy, circulantă, simetrică, antisimetrică. La BAC apare aproape mereu Vandermonde (vezi exercițiul $6$ mai jos); celelalte structuri sunt rare.

Pasul $4$ : efectuează calculul cu metoda aleasă, dublu-verifică semnele.

tips_and_updates

Sfat

Cum exersezi inteligent în următoarele 15 zile

Determinantul singur valorează

5

puncte pe Subiectul II.1, dar îți deblochează inversa matricei, sistemele Cramer și rangul. La

15

zile de BAC, vrei să faci

3

exerciții pe zi, ordonate de la ușor la greu. Pe Algebo ai

25

de exerciții cu rezolvare reveal-on-tap și diagnoză automată a greșelilor de semn. Începe seria de determinanți acum.

6 exerciții BAC rezolvate pas cu pas

Capcanele clasice care taie puncte la barem

Capcanele clasice, în ordinea frecvenței la corectare

1. Aplici Sarrus la o matrice 4x4 (sau mai mare)

Tentația naturală: dacă Sarrus funcționează la

3 \times 3

, de ce să nu copiezi

3

coloane în dreapta unei matrice

4 \times 4

și să aduni produsele de pe

4

diagonale descendente minus

4

ascendente? Greșit. Regula lui Sarrus e o coincidență a structurii determinantului de ordin

3

și nu se generalizează la ordin

\geq 4

. Aplicarea forțată dă un rezultat numeric, dar acel rezultat nu este determinantul matricei. Pentru orice

n \geq 4

trebuie să folosești dezvoltarea Laplace (cu sau fără combinații prealabile pe linii). Protocol anti-eroare: înainte de a porni Sarrus, scrie pe foaie Sarrus pentru $3 \times 3$ exclusiv. Dacă matricea are alt ordin, treci direct la Laplace. Pierzi întreaga problemă (

5

puncte) dacă livrezi un calcul Sarrus pe ordin

4

2. Inversezi semnul la dezvoltarea Laplace

Formula cofactorului este

\Gamma_{ij} = (-1)^{i+j} \cdot M_{ij}

. La intersecția liniei

i

cu coloana

j

, semnul

(-1)^{i+j}

este

+

dacă

i + j

e par și

-

dacă

i + j

e impar. Eroarea clasică: confunzi paritatea, mai ales pentru pozițiile

(2, 1)

(semn

-

, des confundat cu

+

) și

(2, 3)

(semn

-

, des confundat cu

+

). Confuzia inversează un semn în sumă, dând rezultat eronat cu valoare apropiată (uneori imposibil de prins prin verificare). Protocol anti-eroare: înainte de orice dezvoltare Laplace, desenează rapid tabla de șah a semnelor pentru ordinul matricei tale. Cu

9

pătrate desenate pentru

3 \times 3

și

16

pentru

4 \times 4

, te uiți direct la semnul fiecărei poziții fără să recalcezi

(-1)^{i+j}

. Câștigi

30

de secunde și elimini eroarea. Lipsa semnelor corecte taie

3

până la

5

puncte la cerința

(b)

(c)

3. Crezi că det(A + B) = det(A) + det(B)

Spre deosebire de proprietatea bună

\det(AB) = \det A \cdot \det B

, determinantul nu este aditiv în raport cu suma matricelor. Contraexemplu simplu:

A = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}

are

\det A = 0

și

B = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}

are

\det B = 0

, dar

A + B = I_2

are

\det(A + B) = 1 \neq 0 + 0

. Eroarea apare des la cerința

(b)

unde se cere

\det(A + B)

și elevul scrie

\det A + \det B

direct. Singura metodă corectă: calculezi mai întâi matricea

A + B

, apoi determinantul ei prin Sarrus sau Laplace. Cheia: pe sumă de matrice, calcul direct; pe produs de matrice, descompunere prin proprietate. Pierderi tipice:

5

puncte din cele

5

ale cerinței dacă livrezi

\det A + \det B

4. Confunzi det(αA) cu α · det(A)

Pentru

A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})

și

\alpha \in \mathbb{R}

\det(\alpha A) = \alpha^{n} \det A,

\alpha \det A

. Intuiție:

\alpha A

înmulțește fiecare linie cu

\alpha

(sunt

n

linii), iar proprietatea

4

spune că înmulțirea unei singure linii cu

\alpha

înmulțește determinantul cu

\alpha

. Aplicat la toate cele

n

linii: factorul total devine

\alpha^{n}

. Exemplu concret: pentru

A \in \mathcal{M}_3(\mathbb{R})

\det A = 4

\det(2A) = 2^3 \cdot 4 = 32

, NU

2 \cdot 4 = 8

. Pentru

\det(-A)

pe ordin

3

\det(-A) = (-1)^3 \det A = -\det A

; pe ordin

4

\det(-A) = (-1)^4 \det A = +\det A

. Protocol anti-eroare: înainte de a aplica formula, scrie pe foaie ordinul matricei = $n$ , factorul = $\alpha^n$ . Lipsa puterii

n

taie

5

puncte la cerința

(c)

pe Subiectul II.1. Pe M1 mate-info, eroarea apare des cuplată cu calcul de

\det(A^{k})

și cu Newton multinomial; verifică separat fiecare regulă.

Întrebări frecvente

Apar la ambele. La M2 științe ale naturii și tehnologic, capitolul Matrice și determinanți formează Subiectul II.1 cu trei cerințe (

5 + 5 + 5 = 15

puncte). Cerința

(a)

cere calcul direct (

2 \times 2

3 \times 3

), cerința

(b)

cere o proprietate sau o ecuație cu parametru, cerința

(c)

cere o aplicație (matrice inversă, sistem Cramer, sau interpretare geometrică). La M1 mate-info, determinanții apar la Subiectul II.1 ca element din structura matrice + sisteme liniare și ocazional la Subiectul III pe ordin

4

sau pe interpretări liniare ale aplicațiilor. Pe ambele profile, determinantul rămâne instrument central pentru inversabilitate și rang. Programa BAC matematică pentru sesiunea iunie

2026

păstrează capitolul Determinanți la clasa

11

pe ambele profile.

Plan de 15 zile pentru Subiectul II.1 (15-30 iunie 2026)

Astăzi e $15$ iunie. Mai sunt $15$ zile până la proba scrisă. Iată exact ce să faci în fiecare zi.

Zilele $1$ - $3$ ( $15$ - $17$ iunie): determinant $2 \times 2$ și $3 \times 3$ numeric. Memorizezi formula $ad - bc$ , exersezi regula lui Sarrus pe $20$ de matrice numerice $3 \times 3$ . Țintă: sub $1$ minut pe orice $3 \times 3$ numeric.

Zilele $4$ - $6$ ( $18$ - $20$ iunie): proprietățile $1$ - $6$ și recunoașterea structurilor. Exersezi pe $10$ matrice care au o linie de zerouri, două linii proporționale sau structură triunghiulară. Țintă: recunoști proprietatea în sub $5$ secunde.

Zilele $7$ - $9$ ( $21$ - $23$ iunie): determinant cu parametru. Treci prin $5$ exerciții de tip determină $m$ astfel încât $\det A = 0$ (sau $\det A \neq 0$ ). Verifici prin discriminant pentru polinom de gradul $2$ .

Zilele $10$ - $12$ ( $24$ - $26$ iunie): Vandermonde și dezvoltare Laplace pe ordin $4$ . Refaci exercițiile $5$ și $6$ ale articolului, plus încă $3$ Vandermonde și $2$ ordin $4$ .

Zilele $13$ - $14$ ( $27$ - $28$ iunie): variante complete BAC cu timer. O variantă M2 (sau M1) pe zi, $3$ ore cronometrate, focus pe Subiectul II.1 (target: $15$ puncte din $15$ ). Reciti capcanele $1$ - $4$ înainte de fiecare variantă.

Ziua $15$ ( $29$ iunie, după proba de limba română): odihnă activă. Doar formulele $2 \times 2$ , Sarrus și cele $6$ proprietăți reciti, sub $30$ de minute. Restul zilei: somn, masa, fără variante noi. Strategia completă pentru ziua dinaintea BAC, inclusiv triajul pe formule și rutina de relaxare, o ai în articolul nostru despre ce faci în ziua dinaintea BAC matematică.

info

Informatie

Pornește seria de determinanți pe Algebo

25

de exerciții cu rezolvare reveal-on-tap, ordonate progresiv de la

2 \times 2

simplu până la Vandermonde și ordin

4

cu zerouri create prin proprietatea

5

. Diagnoza automată îți identifică greșelile de semn la dezvoltarea Laplace și capcanele

1

4

din articol înainte ca examinatorul să le vadă pe foaia ta. Începe seria de determinanți acum. Pentru lecția structurată pe pași cu video și exemple suplimentare, vezi lecția Algebo despre determinanți de ordin

2

și

3

Citește mai departe

•Matrice clasa 11: $10$ exerciții BAC rezolvate pas cu pas: operațiile cu matrice care folosesc determinantul (inversă, rang, sisteme Cramer).
•Subiectul II BAC matematică: $7$ tipare rezolvate: strategia completă pentru cele $30$ de puncte ale subiectului II.
•Relațiile lui Viète: formule + $6$ exemple BAC: completarea naturală a capitolului polinoame pentru Subiectul II.2.
•Teorema lui Bezout: schema Horner + $6$ exerciții BAC: pentru polinoamele de pe Subiectul II.2 care apar cuplate cu matrice.
•Ce faci în ziua dinaintea BAC matematică: plan pe ore pentru $29$ - $30$ iunie $2026$ .

Cum Calculezi Determinantul Unei Matrice: 6 Exerciții BAC

Pe scurt: cum calculezi orice determinant la BAC

Determinantul: ce este și de ce contează la BAC

Determinant 2x2: formula directă în 5 secunde

Notă BAC

Determinant 3x3: Sarrus, regula triunghiului, ce să folosești

Atenție: Sarrus nu se aplică la ordin n ≥ 4

Dezvoltarea Laplace: orice ordin, decizia smart

6 proprietăți care îți scurtează calculul cu 80%

Arborele de decizie: ce metodă folosești pentru fiecare ordin

Cum exersezi inteligent în următoarele 15 zile

6 exerciții BAC rezolvate pas cu pas

Capcanele clasice care taie puncte la barem

Capcanele clasice, în ordinea frecvenței la corectare

1. Aplici Sarrus la o matrice 4x4 (sau mai mare)

2. Inversezi semnul la dezvoltarea Laplace

3. Crezi că det(A + B) = det(A) + det(B)

4. Confunzi det(αA) cu α · det(A)

Întrebări frecvente

Plan de 15 zile pentru Subiectul II.1 (15-30 iunie 2026)

Pornește seria de determinanți pe Algebo

Citește mai departe

Articole Similare

Integrale Clasa 12: 10 Exerciții BAC Rezolvate Pas cu Pas

Teorema lui Bezout: Schema Horner + 6 Exerciții BAC Rezolvate

Cum Iei 9 la EN8 Matematică 2026: Plan de Pregătire Pas cu Pas

Ce Faci în Ziua Dinaintea BAC la Matematică: Plan pe Ore + 5 Capcane