Cum Calculezi Determinantul Unei Matrice: 6 Exerciții BAC
Determinant 2x2, Sarrus pe 3x3, dezvoltare Laplace, 6 proprietăți și 6 exerciții BAC rezolvate. Plan de 15 zile pentru Subiectul II.1.
Subiectul II.1 la BAC matematică profil M2 începe aproape mereu cu o matrice de ordin sau și o cerință de tip calculează determinantul, arată că matricea e inversabilă sau determină parametrul pentru care determinantul e zero. Pe profil M1 apare la subiectul II.1 ca exercițiu mixt cu sistem de ecuații și pe subiectul III ocazional ca verificare a injectivității unei aplicații liniare. Total: puncte directe pe orice variantă oficială plus până la puncte indirecte (matrice inversă, sisteme Cramer, rang) care depind toate de un singur calcul: determinantul.
Astăzi e iunie și mai sunt zile până la proba scrisă din iunie. Suficient cât să stăpânești complet capitolul determinanți chiar dacă pleci de la zero. În articolul de față ai: formula directă pentru (memorezi în de secunde), regula lui Sarrus pentru (cu un truc anti-eroare la semn), dezvoltarea Laplace pentru orice ordin (cu trucul coloanei cu zerouri care îți taie calculul la jumătate), proprietăți care îți scurtează exercițiile lungi cu până la , exerciții BAC rezolvate pas cu pas ordonate ca pe subiectele oficiale, și capcane care taie puncte la barem chiar și după ce ai înțeles teoria.
Actualizat: iunie , pentru BAC matematică sesiunea iunie .
Pe scurt: cum calculezi orice determinant la BAC
Determinantul este o funcție care asociază fiecărei matrice pătrate un număr real, notat sau . La BAC, aproape mereu, cu un singur tipar de subiectul III pe M1 care poate cere printr-o dezvoltare Laplace.
Determinantul are două roluri practice pentru tine:
- 1.Caracterizează inversabilitatea matricei. Pentru , matricea este inversabilă dacă și numai dacă . Atunci , unde este adjuncta (transpusa matricei cofactorilor). La BAC, cerința arată că matricea admite inversă se reduce la un singur calcul: .
- 2.Caracterizează compatibilitatea sistemelor liniare. Pentru un sistem cu matrice pătrată, sistemul are soluție unică dacă și numai dacă (sistem Cramer). În acel caz, , unde este matricea cu coloana înlocuită de coloana termenilor liberi .
Geometric, reprezintă factorul de scalare al volumului sub aplicația liniară definită de . Pentru , e aria paralelogramului format de cele două coloane ale lui privite ca vectori. Pentru , e volumul paralelipipedului. Semnul lui îți spune dacă aplicația liniară păstrează sau inversează orientarea. Această interpretare nu intră direct în barem la BAC, dar ajută la intuiție, mai ales la cerința de pe subiectul II.1 unde se cere uneori interpretarea geometrică (vezi exercițiul pentru un exemplu Vandermonde).
Pentru o matrice , determinantul este:
Memnotehnică: produsul diagonalei principale minus produsul diagonalei secundare. Direct, fără pași intermediari. Asta e tot ce trebuie pentru ordinul .
Exemplu rapid. Pentru , . Cinci secunde de mână. Asta e timpul țintă pe care îl vrei pe orice la BAC.
Notă BAC
Pentru o matrice , regula lui Sarrus spune:
Procedura mecanică: copiezi primele două coloane în dreapta matricei (obții un dreptunghi ), aduni produsele de pe cele diagonale descendente (de la stânga sus la dreapta jos), scazi produsele de pe cele diagonale ascendente (de la stânga jos la dreapta sus). În total produse de câte factori, plus operații de adunare sau scădere. Maximum de secunde pe orice numeric.
Exemplu rezolvat. Calculează pentru .
Pasul : cele produse descendente (semn ):
Pasul : cele produse ascendente (semn ):
Pasul : scădere finală.
Calcul total: sub un minut, după ce ai exersat pattern-ul de câteva ori. Asta e nivelul de la care pleci pentru orice numeric.
Alternativa: regula triunghiului. Aceeași formulă, doar reprezentată grafic diferit. Termenii pozitivi sunt: diagonala principală plus două triunghiuri cu baza paralelă cu diagonala principală ( și ). Termenii negativi sunt: diagonala secundară plus două triunghiuri cu baza paralelă cu diagonala secundară. Rezultatul e identic cu Sarrus; alegerea între cele două e pur de preferință vizuală.
Atenție: Sarrus nu se aplică la ordin n ≥ 4
Pentru o matrice și un element (din linia , coloana ), definim:
- •Minorul este determinantul matricei de ordin obținute prin ștergerea liniei și coloanei din .
- •Complementul algebric (sau cofactorul) este . Semnul urmează un șablon de tablă de șah pornind de la în colțul stânga-sus:
La intersecția liniei cu coloana , semnul e dacă e par, și dacă e impar.
Dezvoltarea Laplace după linia :
Dezvoltarea Laplace după coloana :
Ambele formule dau exact același rezultat. Trucul de viteză: alegi linia sau coloana cu cele mai multe zerouri. Fiecare zero înmulțit cu cofactorul lui dă , deci pasul respectiv dispare din sumă. O coloană cu trei zerouri într-o matrice îți reduce calculul la un singur determinant în loc de patru. De aici trucul coloanei cu zerouri.
Exemplu rezolvat cu coloană de zerouri. Calculează
Pasul : identifici coloana cu cele mai multe zerouri. Coloana are trei zerouri (în liniile , , ) și un singur element nenul: .
Pasul : dezvolți după coloana . Doar termenul cu supraviețuiește:
unde e determinantul obținut ștergând linia și coloana :
Pasul : aplici Sarrus pe .
Produse descendente: .
Produse ascendente: .
Deci .
Pasul : rezultatul final.
Timpul total: sub minute. Dezvoltarea direct după liniile , sau (care nu au pattern de zerouri) ar fi cerut patru determinanți și sub minute. Citirea coloanei cu zerouri taie timpul la jumătate, garantat.
Aceste proprietăți transformă calculul brut într-un calcul rapid sau, în cele mai bune cazuri, în zero calcul deloc. Le verifici înainte de a desena tabelul Sarrus sau de a porni Laplace.
Proprietatea : determinantul transpusei. . Consecință: orice afirmație despre linii e validă și pentru coloane. Dacă o coloană e mai ușor de manipulat decât o linie, lucrezi pe coloană.
Proprietatea : linie (sau coloană) de zerouri. Dacă o linie sau o coloană a matricei e formată complet din , atunci . Verifică asta în secunde înainte de orice altceva.
Proprietatea : două linii (sau coloane) proporționale. Dacă o linie e multiplul cu un scalar al unei alte linii (de exemplu ), atunci . Caz particular: două linii identice determinant zero. Aceeași regulă pentru coloane.
Proprietatea : înmulțirea unei linii cu un scalar. Dacă înmulțești o singură linie a lui cu un scalar , determinantul se înmulțește cu . Generalizat: dacă (toate elementele înmulțite cu , nu doar o linie), atunci
unde este ordinul matricei. Atenție capcană: nu confunda (fals pentru ) cu formula corectă . Apariție frecventă la cerința pe Subiectul II.1.
Proprietatea : adunarea unui multiplu al unei linii la altă linie. Dacă pentru , atunci determinantul nu se schimbă. Aceasta e proprietatea de aur: îți permite să creezi zerouri într-o coloană (sau linie) prin operații elementare, fără să modifici valoarea determinantului. Combinată cu dezvoltarea Laplace pe coloana cu zerouri create, taie calculul masiv. La pe M1, fără această tehnică, calculul devine impractic la BAC.
Proprietatea : determinantul produsului. Pentru două matrice pătrate de același ordin,
Consecințe utile: pentru orice . Pentru matrice inversabilă, . Atenție capcană: în general. Nu există formulă similară pentru suma matricelor.
Bonus 1: matrice triunghiulară. Pentru o matrice triunghiulară (superior sau inferior), determinantul este produsul elementelor de pe diagonala principală:
La fel pentru matrice diagonală. Apariție frecventă la subiectul II.1 cu o matrice de tip , unde direct, fără Sarrus.
Înainte de orice calcul, parcurge mental următorul arbore. Cu disciplină, ajungi la metoda corectă în secunde.
Pasul : verifică proprietățile și . O linie sau coloană de zerouri, două linii proporționale, două linii identice. Dacă da, răspunsul e . Direct, fără calcul.
Pasul : verifică dacă matricea e triunghiulară sau diagonală. Dacă da, e produsul elementelor de pe diagonala principală. Sub secunde de calcul.
Pasul : alege metoda în funcție de ordin.
- •Ordin : formula directă .
- •Ordin : regula lui Sarrus (sau regula triunghiului, după preferință). Dezvoltarea Laplace e o opțiune dacă o linie sau o coloană are deja zerouri ( pentru sau poziții).
- •Ordin : dezvoltarea Laplace este obligatorie. Caută linia sau coloana cu cele mai multe zerouri. Dacă matricea nu are zerouri evidente, aplică proprietatea (combinații liniare pe linii) pentru a crea zerouri, apoi dezvoltă Laplace.
Pasul : înainte de pasul , verifică dacă matricea are o structură specială. Vandermonde, Cauchy, circulantă, simetrică, antisimetrică. La BAC apare aproape mereu Vandermonde (vezi exercițiul mai jos); celelalte structuri sunt rare.
Pasul : efectuează calculul cu metoda aleasă, dublu-verifică semnele.
Cum exersezi inteligent în următoarele 15 zile
Capcanele clasice, în ordinea frecvenței la corectare
1. Aplici Sarrus la o matrice 4x4 (sau mai mare)
2. Inversezi semnul la dezvoltarea Laplace
3. Crezi că det(A + B) = det(A) + det(B)
4. Confunzi det(αA) cu α · det(A)
NU . Intuiție: înmulțește fiecare linie cu (sunt linii), iar proprietatea spune că înmulțirea unei singure linii cu înmulțește determinantul cu . Aplicat la toate cele linii: factorul total devine . Exemplu concret: pentru cu , , NU . Pentru pe ordin : ; pe ordin : . Protocol anti-eroare: înainte de a aplica formula, scrie pe foaie ordinul matricei = , factorul = . Lipsa puterii taie puncte la cerința pe Subiectul II.1. Pe M1 mate-info, eroarea apare des cuplată cu calcul de și cu Newton multinomial; verifică separat fiecare regulă.
Astăzi e iunie. Mai sunt zile până la proba scrisă. Iată exact ce să faci în fiecare zi.
Zilele - (- iunie): determinant și numeric. Memorizezi formula , exersezi regula lui Sarrus pe de matrice numerice . Țintă: sub minut pe orice numeric.
Zilele - (- iunie): proprietățile - și recunoașterea structurilor. Exersezi pe matrice care au o linie de zerouri, două linii proporționale sau structură triunghiulară. Țintă: recunoști proprietatea în sub secunde.
Zilele - (- iunie): determinant cu parametru. Treci prin exerciții de tip determină astfel încât (sau ). Verifici prin discriminant pentru polinom de gradul .
Zilele - (- iunie): Vandermonde și dezvoltare Laplace pe ordin . Refaci exercițiile și ale articolului, plus încă Vandermonde și ordin .
Zilele - (- iunie): variante complete BAC cu timer. O variantă M2 (sau M1) pe zi, ore cronometrate, focus pe Subiectul II.1 (target: puncte din ). Reciti capcanele - înainte de fiecare variantă.
Ziua ( iunie, după proba de limba română): odihnă activă. Doar formulele , Sarrus și cele proprietăți reciti, sub de minute. Restul zilei: somn, masa, fără variante noi. Strategia completă pentru ziua dinaintea BAC, inclusiv triajul pe formule și rutina de relaxare, o ai în articolul nostru despre ce faci în ziua dinaintea BAC matematică.
Pornește seria de determinanți pe Algebo
Citește mai departe
- •Matrice clasa 11: exerciții BAC rezolvate pas cu pas: operațiile cu matrice care folosesc determinantul (inversă, rang, sisteme Cramer).
- •Subiectul II BAC matematică: tipare rezolvate: strategia completă pentru cele de puncte ale subiectului II.
- •Relațiile lui Viète: formule + exemple BAC: completarea naturală a capitolului polinoame pentru Subiectul II.2.
- •Teorema lui Bezout: schema Horner + exerciții BAC: pentru polinoamele de pe Subiectul II.2 care apar cuplate cu matrice.
- •Ce faci în ziua dinaintea BAC matematică: plan pe ore pentru - iunie .
Distribuie articolul