Teorema lui Bezout: Schema Horner + 6 Exerciții BAC Rezolvate
Teorema lui Bezout îți spune când și de ce (X-a) divide un polinom. Schema lui Horner îți spune cum împarți rapid. 6 tipare BAC M2 rezolvate pas cu pas.
Subiectul II.2 la BAC matematică profil M2 conține obligatoriu un polinom de grad superior (de obicei gradul sau ) cu trei cerințe: puncte. La profil M1, polinoamele apar la subiectul II.2 ca exercițiu mixt și uneori pe subiectul III ca aplicație. Total: până la de puncte pe orice variantă oficială care depind direct de trei instrumente: teorema lui Bezout, schema lui Horner și teorema rădăcinilor raționale.
Astăzi e iunie și mai sunt zile până la proba scrisă din iunie. Suficient cât să stăpânești complet capitolul polinoame. În articolul ăsta ai: enunțul lui Bezout cu demonstrația în pași, schema lui Horner ca tabel (cu un exemplu pe care îl refaci în de secunde), algoritmul rădăcinilor raționale (cum decizi ce să încerci la Horner fără să ghicești), exerciții BAC rezolvate ordonate exact ca pe subiectele oficiale și capcane care taie puncte la barem chiar și după ce ai înțeles teoria.
Actualizat: iunie , pentru BAC matematică sesiunea iunie .
Pe scurt: ce stăpânești după acest articol
Enunț (forma de la BAC). Fie un polinom și un număr. Atunci este rădăcină a lui dacă și numai dacă divide :
Ecuația de mai sus se citește în ambele sensuri. Direct: dacă e rădăcină, se descompune ca cu polinom de grad . Invers: dacă se împarte exact la , atunci anulează polinomul.
Demonstrația în pași. Cheia e teorema împărțirii cu rest pentru polinoame.
Pasul (împărțirea cu rest). Aplicând teorema împărțirii cu rest a polinomului la divizorul (care e de grad ), există și unice astfel încât:
Pasul ( este o constantă). Cum , restul nu poate avea termen în . Deci pentru un anumit . Forma împărțirii devine:
Pasul (calculezi ). Substituie în ambii membri. Factorul devine , deci primul termen se anulează:
Așadar și obținem identitatea fundamentală a lui Bezout:
Concluzia. Dacă , atunci , deci . Reciproc, dacă , atunci (restul împărțirii e ). Teorema e demonstrată.
Pe subiectul II.2, cerința cere deseori restul împărțirii unui polinom la sau . Nu faci împărțirea lungă. Folosești corolarul direct al lui Bezout, numit teorema restului: restul împărțirii lui la este chiar .
Exemplu rapid. Calculează restul împărțirii lui la . Substituie :
Restul e . Timp total: sub de secunde. Comparativ cu împărțirea lungă (care ia minute și e propensă la erori aritmetice), substituția directă e barem-curată.
Atenție la semn pentru . Dacă enunțul cere restul împărțirii la , scrie întâi , deci aplici , nu .
Exemplu. Restul împărțirii lui la este , nu . Confuzia semnului taie cei puncte ai cerinței direct.
Schema lui Horner e un tabel care îți dă și câtul, și restul împărțirii lui la , într-o singură trecere. E identitatea lui Bezout reformulată ca algoritm.
Cum funcționează. Fie . Construiești un tabel cu coeficienții lui pe primul rând și valoarea în colțul din stânga jos. Apoi:
- 1.Coboară primul coeficient: .
- 2.Recursiv: pentru .
- 3.Ultimul număr din rândul de jos este , adică restul.
- 4.Celelalte numere sunt coeficienții câtului: .
De ce funcționează. Schema lui Horner e o rescriere a polinomului în formă Hörner-imbricată: . Substituind și mergând de la interior spre exterior calculezi pas cu pas, iar fiecare pas intermediar e exact un coeficient al câtului. Adică tabelul rezolvă simultan evaluarea și împărțirea cu .
Exemplu complet. Calculează câtul și restul împărțirii lui la . Coeficienții lui sunt , iar . Construiești tabelul:
Cum citești tabelul. Coloana este informativă (). Coloana e primul coeficient coborât: . Coloana e . Coloana e . Coloana e .
Rezultat. Câtul este , iar restul este . Identitatea împărțirii:
Verificare. Substituie în polinomul inițial: . Coincide cu restul din tabel. Tabelul Horner îți confirmă deodată restul și formula de descompunere, ambele cerute la BAC.
Mnemonic Horner. "Coboară primul, apoi pentru fiecare casetă: înmulțești caseta anterioară din rândul de jos cu , aduni coeficientul de sus." Recită mnemonicul de ori înainte de examen și schema devine automatism.
Bezout îți spune când un număr e rădăcină (). Nu îți spune care numere sunt rădăcini. Pentru asta folosești teorema rădăcinilor raționale.
Enunț. Fie cu și . Dacă este o rădăcină rațională a lui , scrisă în formă ireductibilă (adică ), atunci și .
Corolar (cazul cel mai des la BAC). Dacă coeficientul dominant este , atunci , deci toate rădăcinile raționale ale lui sunt divizori întregi ai termenului liber .
Algoritmul în pași pentru subiectul II.2 cerința sau .
- 1.Listează divizorii lui (termenul liber). Inclusiv semnele plus și minus.
- 2.Dacă , listează și divizorii lui și construiește toate fracțiile .
- 3.Testează fiecare candidat cu schema lui Horner. Restul înseamnă rădăcină. Câtul îți rămâne ca polinom de grad pe care îl tratezi mai departe.
- 4.Continuă pe câtul redus până ajungi la un polinom de gradul . Pe gradul aplici discriminantul direct.
Exemplu. Găsește rădăcinile lui . Coeficientul dominant e , deci rădăcinile raționale sunt divizori ai termenului liber . Candidați: .
Încerci cu Horner: . Rest , deci e rădăcină și câtul e .
Factorizezi câtul: , cu rădăcinile și .
Concluzie. , rădăcinile sunt . Patru pași, sub minute la examen.
Învață teoria cu animație interactivă
Exercițiile de mai jos sunt ordonate exact ca pe subiectul II.2 al BAC-ului: două pentru cerința ( puncte fiecare, calcul direct), două pentru cerința ( puncte fiecare, raționament intermediar) și două pentru cerința ( puncte fiecare, problema cea mai grea). Refă-le cu mâna pe hârtie, nu doar cu ochii pe ecran. Memoria musculară valorează puncte la examen.
Capcanele clasice, în ordinea frecvenței la corectare
1. Confunzi X + a cu X − a (capcana semnului)
2. Aplici teorema rădăcinilor raționale fără să incluzi coeficientul dominant
3. Confunzi teorema lui Bezout (polinoame) cu teorema lui Bezout (analiză / Lagrange)
4. Sari coeficienții 0 când construiești tabelul Horner
Polinoame în context BAC. Relațiile lui Viète: formule + exemple BAC acoperă jumătatea complementară a polinoamelor (sumele simetrice ale rădăcinilor) și se cuplează direct cu Bezout pentru verificare. Subiectul II BAC matematică: tipare rezolvate pune polinoamele alături de matrice și structuri algebrice, cu toate tiparele subiectului II în același loc.
Analiză cu temă similară. Teorema lui Lagrange: exerciții BAC rezolvate este teorema lui Bezout din analiză (creșterilor finite), cea cu care se face confuzia clasică (vezi capcana ). Teorema lui Rolle: aplicații BAC o completează pentru subiectul III pe analiză.
Strategie BAC. Ce faci în ziua dinaintea BAC la matematică îți dă protocolul orar pentru ultimele de ore înainte de proba scrisă din iunie.
Antrenament direct pe polinoame
Distribuie articolul