Teorema lui Bezout: Schema Horner + 6 Exerciții BAC Rezolvate

Subiectul II.2 la BAC matematică profil M2 conține obligatoriu un polinom de grad superior (de obicei gradul $3$ sau $4$) cu trei cerințe: $5 + 5 + 5 = 15$ puncte. La profil M1, polinoamele apar la subiectul II.2 ca exercițiu mixt și uneori pe subiectul III ca aplicație. Total: $15$ până la $20$ de puncte pe orice variantă oficială care depind direct de trei instrumente: teorema lui Bezout, schema lui Horner și teorema rădăcinilor raționale.

Astăzi e $13$ iunie $2026$ și mai sunt $17$ zile până la proba scrisă din $30$ iunie. Suficient cât să stăpânești complet capitolul polinoame. În articolul ăsta ai: enunțul lui Bezout cu demonstrația în $3$ pași, schema lui Horner ca tabel (cu un exemplu pe care îl refaci în $20$ de secunde), algoritmul rădăcinilor raționale (cum decizi ce să încerci la Horner fără să ghicești), $6$ exerciții BAC rezolvate ordonate exact ca pe subiectele oficiale și $4$ capcane care taie puncte la barem chiar și după ce ai înțeles teoria.

Actualizat: iunie $2026$, pentru BAC matematică sesiunea iunie $2026$.

Enunț (forma de la BAC). Fie $f \in \mathbb{R}[X]$ un polinom și $a \in \mathbb{R}$ un număr. Atunci $a$ este rădăcină a lui $f$ dacă și numai dacă $(X - a)$ divide $f$:

Ecuația de mai sus se citește în ambele sensuri. Direct: dacă $a$ e rădăcină, $f$ se descompune ca $f(X) = (X - a) \cdot q(X)$ cu $q$ polinom de grad $\deg f - 1$. Invers: dacă $f$ se împarte exact la $X - a$, atunci $a$ anulează polinomul.

Demonstrația în $3$ pași. Cheia e teorema împărțirii cu rest pentru polinoame.

Pasul $1$ (împărțirea cu rest). Aplicând teorema împărțirii cu rest a polinomului $f$ la divizorul $X - a$ (care e de grad $1$), există $q$ și $r$ unice astfel încât:

Pasul $2$ ($r$ este o constantă). Cum $\deg r < 1$, restul nu poate avea termen în $X$. Deci $r(X) = c$ pentru un anumit $c \in \mathbb{R}$. Forma împărțirii devine:

Pasul $3$ (calculezi $c = f(a)$). Substituie $X = a$ în ambii membri. Factorul $(X - a)$ devine $0$, deci primul termen se anulează:

Așadar $c = f(a)$ și obținem identitatea fundamentală a lui Bezout:

Concluzia. Dacă $f(a) = 0$, atunci $f(X) = (X - a) \cdot q(X)$, deci $(X - a) \mid f$. Reciproc, dacă $(X - a) \mid f$, atunci $f(a) = 0$ (restul împărțirii e $0$). Teorema e demonstrată.

Pe subiectul II.2, cerința $(a)$ cere deseori restul împărțirii unui polinom la $X - a$ sau $X + a$. Nu faci împărțirea lungă. Folosești corolarul direct al lui Bezout, numit teorema restului: restul împărțirii lui $f$ la $X - a$ este chiar $f(a)$.

Exemplu rapid. Calculează restul împărțirii lui $f = X^5 - 3 X^2 + 7$ la $X - 2$. Substituie $X = 2$:

Restul e $27$. Timp total: sub $20$ de secunde. Comparativ cu împărțirea lungă (care ia minute și e propensă la erori aritmetice), substituția directă e barem-curată.

Atenție la semn pentru $X + a$. Dacă enunțul cere restul împărțirii la $X + a$, scrie întâi $X + a = X - (-a)$, deci aplici $f(-a)$, nu $f(a)$.

Exemplu. Restul împărțirii lui $f = X^3 + 2 X^2 - 5 X + 3$ la $X + 1$ este $f(-1) = -1 + 2 + 5 + 3 = 9$, nu $f(1) = 1 + 2 - 5 + 3 = 1$. Confuzia semnului taie cei $5$ puncte ai cerinței direct.

Schema lui Horner e un tabel care îți dă și câtul, și restul împărțirii lui $f$ la $X - a$, într-o singură trecere. E identitatea lui Bezout reformulată ca algoritm.

Cum funcționează. Fie $f = a_n X^n + a_{n-1} X^{n-1} + \ldots + a_1 X + a_0$. Construiești un tabel cu coeficienții lui $f$ pe primul rând și valoarea $a$ în colțul din stânga jos. Apoi:

1. 1.Coboară primul coeficient: $b_n = a_n$.
2. 2.Recursiv: $b_{k-1} = a_{k-1} + a \cdot b_k$ pentru $k = n, n-1, \ldots, 1$.
3. 3.Ultimul număr din rândul de jos este $b_0 = f(a)$, adică restul.
4. 4.Celelalte $n$ numere sunt coeficienții câtului: $q(X) = b_n X^{n-1} + b_{n-1} X^{n-2} + \ldots + b_1$.

De ce funcționează. Schema lui Horner e o rescriere a polinomului în formă Hörner-imbricată: $f(X) = a_0 + X \cdot (a_1 + X \cdot (a_2 + \ldots + X \cdot a_n))$. Substituind $X = a$ și mergând de la interior spre exterior calculezi $f(a)$ pas cu pas, iar fiecare pas intermediar e exact un coeficient al câtului. Adică tabelul rezolvă simultan evaluarea $f(a)$ și împărțirea cu $X - a$.

Exemplu complet. Calculează câtul și restul împărțirii lui $f = 2 X^3 - 5 X^2 + 3 X - 8$ la $X - 2$. Coeficienții lui $f$ sunt $2, -5, 3, -8$, iar $a = 2$. Construiești tabelul:

Cum citești tabelul. Coloana $1$ este informativă ($a = 2$). Coloana $2$ e primul coeficient coborât: $b_3 = 2$. Coloana $3$ e $b_2 = -5 + 2 \cdot 2 = -1$. Coloana $4$ e $b_1 = 3 + 2 \cdot (-1) = 1$. Coloana $5$ e $b_0 = -8 + 2 \cdot 1 = -6$.

Rezultat. Câtul este $q(X) = 2 X^2 - X + 1$, iar restul este $-6$. Identitatea împărțirii:

Verificare. Substituie $X = 2$ în polinomul inițial: $f(2) = 2 \cdot 8 - 5 \cdot 4 + 6 - 8 = 16 - 20 + 6 - 8 = -6$. Coincide cu restul din tabel. Tabelul Horner îți confirmă deodată restul și formula de descompunere, ambele cerute la BAC.

Mnemonic Horner. "Coboară primul, apoi pentru fiecare casetă: înmulțești caseta anterioară din rândul de jos cu $a$, aduni coeficientul de sus." Recită mnemonicul de $5$ ori înainte de examen și schema devine automatism.

Bezout îți spune când un număr e rădăcină ($f(a) = 0$). Nu îți spune care numere sunt rădăcini. Pentru asta folosești teorema rădăcinilor raționale.

Enunț. Fie $f = a_n X^n + a_{n-1} X^{n-1} + \ldots + a_1 X + a_0 \in \mathbb{Z}[X]$ cu $a_0 \neq 0$ și $a_n \neq 0$. Dacă $\dfrac{p}{q}$ este o rădăcină rațională a lui $f$, scrisă în formă ireductibilă (adică $(p, q) = 1$), atunci $p \mid a_0$ și $q \mid a_n$.

Corolar (cazul cel mai des la BAC). Dacă coeficientul dominant este $a_n = \pm 1$, atunci $q = \pm 1$, deci toate rădăcinile raționale ale lui $f$ sunt divizori întregi ai termenului liber $a_0$.

Algoritmul în $4$ pași pentru subiectul II.2 cerința $(b)$ sau $(c)$.

1. 1.Listează divizorii lui $a_0$ (termenul liber). Inclusiv semnele plus și minus.
2. 2.Dacă $a_n \neq \pm 1$, listează și divizorii lui $a_n$ și construiește toate fracțiile $p/q$.
3. 3.Testează fiecare candidat cu schema lui Horner. Restul $0$ înseamnă rădăcină. Câtul îți rămâne ca polinom de grad $n - 1$ pe care îl tratezi mai departe.
4. 4.Continuă pe câtul redus până ajungi la un polinom de gradul $2$. Pe gradul $2$ aplici discriminantul direct.

Exemplu. Găsește rădăcinile lui $f = X^3 - 6 X^2 + 11 X - 6$. Coeficientul dominant e $1$, deci rădăcinile raționale sunt divizori ai termenului liber $-6$. Candidați: $\pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 6$.

Încerci $a = 1$ cu Horner: $b_3 = 1, b_2 = -6 + 1 = -5, b_1 = 11 - 5 = 6, b_0 = -6 + 6 = 0$. Rest $0$, deci $1$ e rădăcină și câtul e $X^2 - 5 X + 6$.

Factorizezi câtul: $X^2 - 5 X + 6 = (X - 2)(X - 3)$, cu rădăcinile $2$ și $3$.

Concluzie. $f(X) = (X - 1)(X - 2)(X - 3)$, rădăcinile sunt $1, 2, 3$. Patru pași, sub $2$ minute la examen.

Exercițiile de mai jos sunt ordonate exact ca pe subiectul II.2 al BAC-ului: două pentru cerința $(a)$ ($5$ puncte fiecare, calcul direct), două pentru cerința $(b)$ ($5$ puncte fiecare, raționament intermediar) și două pentru cerința $(c)$ ($5$ puncte fiecare, problema cea mai grea). Refă-le cu mâna pe hârtie, nu doar cu ochii pe ecran. Memoria musculară valorează $5$ puncte la examen.

Polinoame în context BAC. Relațiile lui Viète: formule + $6$ exemple BAC acoperă jumătatea complementară a polinoamelor (sumele simetrice ale rădăcinilor) și se cuplează direct cu Bezout pentru verificare. Subiectul II BAC matematică: $7$ tipare rezolvate pune polinoamele alături de matrice și structuri algebrice, cu toate tiparele subiectului II în același loc.

Analiză cu temă similară. Teorema lui Lagrange: $5$ exerciții BAC rezolvate este teorema lui Bezout din analiză (creșterilor finite), cea cu care se face confuzia clasică (vezi capcana $3$). Teorema lui Rolle: $6$ aplicații BAC o completează pentru subiectul III pe analiză.

Strategie BAC. Ce faci în ziua dinaintea BAC la matematică îți dă protocolul orar pentru ultimele $24$ de ore înainte de proba scrisă din $30$ iunie.