Integrale Clasa 12: 10 Exerciții BAC Rezolvate Pas cu Pas

Subiectul III, problema $2$ la BAC matematică valorează $15$ puncte. Apare pe toate variantele (M1 mate-info, M2 științe ale naturii, tehnologic, pedagogic) și are întotdeauna o integrală în prim-plan: primitivă, formula Leibniz-Newton, substituție, integrare prin părți sau aplicație geometrică (arie, volum, limită de șir prin Riemann). Dacă astăzi e $14$ iunie $2026$, mai sunt $16$ zile până la proba scrisă din $30$ iunie. Suficient cât să stăpânești cele $10$ tipare care apar an după an.

În articolul ăsta ai $10$ exerciții cu integrale rezolvate complet, ordonate exact ca pe subiectul oficial: primele $3$ acoperă cerința $(a)$ ($5$ puncte de calcul direct pe tabelul primitivelor), următoarele $3$ acoperă cerința $(b)$ ($5$ puncte: substituție și integrare prin părți), ultimele $4$ acoperă cerința $(c)$ ($5$ puncte grele: funcții raționale, arie sub grafic, volum de rotație și limită de șir prin Riemann). Fiecare e scris cu KaTeX nativ, nu PDF cu poze, deci poți copia pașii direct pe foaie. La final, $4$ capcane care taie puncte la barem chiar și după ce ai învățat tabelul.

Actualizat: iunie $2026$, pentru BAC matematică sesiunea iunie $2026$.

Cele $10$ exerciții urmează exact ordinea cerințelor BAC subiectul III.$2$. Exercițiile $1$, $2$ și $3$ sunt calcul direct cu tabelul primitivelor și formula Leibniz-Newton, exact tipul de cerință $(a)$. Exercițiile $4$, $5$ și $6$ introduc cele două tehnici principale ce apar la cerința $(b)$: substituția pentru o integrală nedefinită, integrarea prin părți pe combinația polinom $\cdot$ exponențială și substituția pentru o integrală definită cu schimbarea explicită a limitelor. Exercițiile $7$ și $8$ acoperă cerința $(c)$ pe versiunea universală (M$1$, M$2$, tehnologic): descompunerea unei funcții raționale în fracții simple și aria sub grafic cu funcție de semn constant. Exercițiul $9$ acoperă volumul de rotație $V = \pi \int_a^b f^2(x)\, dx$, cerință tipică $(c)$ pe M$1$. Exercițiul $10$ combină integrala cu o limită de șir prin Riemann, exact tiparul cel mai greu de la $(c)$ pe M$1$.

Fiecare exercițiu are enunț scurt, rezolvare pas cu pas cu KaTeX, verificare prin derivare (sau interpretare geometrică) și o notă scurtă pentru contextul BAC: cerința, baremul, capcane uzuale. Apasă pe titlul unui exercițiu ca să vezi rezolvarea completă.

Distincția M$1$ vs M$2$. Tabelul primitivelor uzuale, formula Leibniz-Newton, substituția, integrarea prin părți și aria sub grafic apar pe toate cele $4$ variante. Funcțiile raționale cu fracții simple apar pe M$1$ și M$2$, dar mai des pe M$1$. Volumul de rotație și limita de șir prin Riemann apar aproape exclusiv pe M$1$ mate-info.

Înainte de a începe, fixează cele $10$ primitive elementare. Examinatorul presupune că le știi pe de rost, nu acceptă să le recalculezi pe foaie cu definiția.

| Funcția $f$ | Primitiva $F$ | Domeniu |
|---|---|---|
| $0$ | $C$ | $\mathbb{R}$ |
| $x^n$, $n \in \mathbb{N}$ | $\dfrac{x^{n+1}}{n+1} + C$ | $\mathbb{R}$ |
| $x^{\alpha}$, $\alpha \in \mathbb{R} \setminus \{-1\}$ | $\dfrac{x^{\alpha+1}}{\alpha+1} + C$ | $(0, \infty)$ |
| $\dfrac{1}{x}$ | $\ln \lvert x \rvert + C$ | $\mathbb{R}^*$ |
| $e^x$ | $e^x + C$ | $\mathbb{R}$ |
| $a^x$, $a > 0$, $a \neq 1$ | $\dfrac{a^x}{\ln a} + C$ | $\mathbb{R}$ |
| $\sin x$ | $-\cos x + C$ | $\mathbb{R}$ |
| $\cos x$ | $\sin x + C$ | $\mathbb{R}$ |
| $\dfrac{1}{\cos^2 x}$ | $\operatorname{tg} x + C$ | $x \neq \dfrac{\pi}{2} + k \pi$ |
| $\dfrac{1}{x^2 + a^2}$, $a \neq 0$ | $\dfrac{1}{a} \operatorname{arctg} \dfrac{x}{a} + C$ | $\mathbb{R}$ |

Și cele patru formule de bază pe care le aplici peste tabel:

Cu astea $14$ formule rezolvi $90\%$ din ce poate cere subiectul III.$2$. Restul de $10\%$ înseamnă descompunerea în fracții simple (exercițiul $7$) și combinațiile cu aplicații geometrice sau șiruri Riemann (exercițiile $8$, $9$, $10$).

Apasă pe titlul unui exercițiu ca să vezi rezolvarea completă. Primul e deschis implicit, pentru a-ți arăta nivelul de detaliu pe care ți-l dă fiecare card.

Următoarele patru greșeli apar în mod repetat la corectare, conform analizei baremelor BAC matematică din ultimii $5$ ani. Le-am ordonat după frecvență, de la cea care taie cele mai multe puncte la cea care taie cele mai puține.

Pentru o pregătire completă a subiectului III BAC, citește și articolele din colecția Algebo de analiză matematică:

• •Aria sub grafic: formula și 3 tipare BAC e extensia naturală a exercițiilor $8$ și $9$, cu algoritmul complet în $5$ pași pentru orice cerință de arie (semn constant, semn alternant, două grafice).
• •Derivate clasa 11: 10 exerciții BAC rezolvate acoperă subiectul III.$1$ ($15$ puncte) și folosește verificarea prin derivare exact ca în exercițiile $1$, $4$ și $5$ de aici (derivata anulează integrarea).
• •Cum se calculează limita unei funcții e fundalul teoretic pentru exercițiul $10$: limita sumei Riemann e un caz particular al limitei unei sume.
• •Teorema lui Lagrange: 5 aplicații BAC explică de ce două primitive ale aceleiași funcții diferă printr-o constantă pe orice interval (corolar Lagrange).
• •Studiul funcției pas cu pas: schema BAC subiectul III în 8 pași leagă derivatele, monotonia, extremele și integralele într-un singur algoritm pentru subiectul III complet.