Studiul Funcției Pas cu Pas: Schema BAC Subiectul III în 8 Pași

Subiectul III, ora 11:30. Ai pe foaie o funcție $f: D \to \mathbb{R}$ și șase cerințe. Trei dintre ele cer derivate, monotonie, asimptote, tabel de variație. Treizeci de puncte din notă depind de cât de mecanic îți iese studiul funcției pas cu pas.

Vestea bună: schema e mereu aceeași. Opt pași, în aceeași ordine, pentru orice funcție din programa BAC. Vestea proastă: dacă sari unul, pierzi punctele din cerința aia. Articolul ăsta îți dă schema completă, o funcție rezolvată cap la cap și capcanele frecvente.

Actualizat: mai 2026, pentru BAC matematică sesiunea iunie 2026.

Programa M1 enumera la Elemente de analiză matematică, capitolul Studiul funcțiilor cu ajutorul derivatelor, exact aceste competențe: determinarea domeniului, calcul de limite și asimptote, studiul monotoniei și al convexității, trasarea graficului. La M2, programa cere același lucru în formă redusă (asimptota oblică e opțională, convexitatea apare doar la funcții raționale simple).

Subiectele oficiale repetă tiparul în fiecare an. Te uiți la o variantă din 2024, una din 2022, una din 2019: aceleași 3 cerințe pe aceeași funcție, în aceeași ordine. Cerința (a) cere derivata sau monotonia, cerința (b) cere o asimptotă sau o limită, cerința (c) cere o demonstrație construită pe tabelul de variație.

Avantajul pentru tine: nu trebuie să improvizezi. Mergi mecanic prin cele 8 puncte și răspunsurile la cerințe pică natural din notițele tale.

Pentru ca schema să nu rămână abstractă, parcurgem fiecare pas pe o funcție clasică de bacalaureat:

E o funcție rațională cu domeniu mărginit, asimptotă verticală, asimptotă oblică, două extreme locale și un schimb de convexitate. Adică, exact tipul de exemplar care apare la subiectul III(b) și (c).

Domeniul $D$ este mulțimea tuturor valorilor $x$ pentru care $f(x)$ are sens. Ce blochează un $x$ să fie în domeniu? Trei lucruri:

• •Numitor zero: dacă funcția are o fracție, scoți valorile care anulează numitorul.
• •Radical de ordin par cu argument negativ: $\displaystyle \sqrt{x}$ cere $x \geq 0$, $\displaystyle \sqrt[4]{x-3}$ cere $x \geq 3$.
• •Logaritm cu argument $\leq 0$: $\ln(g(x))$ cere $g(x) > 0$.

Pe funcția noastră: $\displaystyle f(x) = \frac{x^2}{x-1}$ are numitorul $x - 1$, care se anulează în $x = 1$. Restul valorilor sunt acceptate (numărător polinom, deci nicio altă restricție).

Scrii domeniul exact așa, ca reuniune de intervale. La examinator scrierea $D = \mathbb{R} \setminus \{1\}$ singură e acceptată, dar reuniunea $(-\infty, 1) \cup (1, +\infty)$ te ajută mai târziu, când calculezi limitele laterale în $x = 1$.

Două intersecții posibile.

Cu axa $Oy$: pui $x = 0$ și calculezi $f(0)$. Dacă $0 \in D$, obții punctul $(0, f(0))$.

Cu axa $Ox$: rezolvi ecuația $f(x) = 0$. Soluțiile $x_1, x_2, \ldots$ care aparțin lui $D$ îți dau punctele $(x_i, 0)$.

Pe exemplu:

• •$\displaystyle f(0) = \frac{0^2}{0-1} = \frac{0}{-1} = 0$, deci graficul trece prin originea $(0, 0)$.
• •$f(x) = 0 \Leftrightarrow x^2 = 0 \Leftrightarrow x = 0$ (în $D$). Aceeași origine.

Graficul atinge axele într-un singur punct, originea. Asta îți spune deja că funcția trece o singură dată prin valoarea $0$, ceea ce e o informație utilă pentru pasul 7.

Paritatea îți poate înjumătăți munca, dar doar dacă funcția chiar e pară sau impară. Verifici așa:

• •Pară: $f(-x) = f(x)$ pentru orice $x \in D$ cu $-x \in D$. Graficul e simetric față de axa $Oy$. Studiezi funcția pe $D \cap [0, +\infty)$ și completezi prin simetrie.
• •Impară: $f(-x) = -f(x)$. Graficul e simetric față de origine. La fel, studiezi doar jumătatea pozitivă.
• •Niciuna: studiezi întreg domeniul. Cazul cel mai frecvent.

Pe exemplul nostru:

Compari cu $\displaystyle f(x) = \frac{x^2}{x-1}$ și cu $\displaystyle -f(x) = -\frac{x^2}{x-1}$. Niciuna nu coincide cu $f(-x)$. Funcția nu e nici pară, nici impară. Treci la pasul 4.

Mic detaliu pe care îl ratează foarte mulți: paritatea se verifică mereu, chiar și pentru funcții raționale aparent asimetrice. La olimpiadă apar funcții pare care nu par pare la prima vedere, de exemplu $f(x) = x^4 + 3x^2 - 1$. Trei secunde de verificare îți salvează 10 minute de calcul ulterior.

Asimptotele sunt drepte de care graficul se apropie oricât de mult. Trei tipuri, fiecare cu o regulă clară. Greșeala numărul 1 a elevilor: amestecă regulile. Iată-le separat.

Asimptota verticală la $x = 1$

Singurul punct de discontinuitate al funcției e $x = 1$. Calculăm limitele laterale:

La numărător, $1^2 = 1$. La numitor, $x - 1$ tinde la $0$ prin valori negative (pentru $x < 1$ apropiat de $1$, $x - 1 < 0$). Deci raportul tinde la $\displaystyle \frac{1}{0^-} = -\infty$.

Concluzie: $x = 1$ este asimptotă verticală la dreapta și la stânga (cu sărituri spre $-\infty$, respectiv $+\infty$).

Asimptota orizontală

Numărător de grad 2, numitor de grad 1. Gradul numărătorului fiind mai mare, limita e $+\infty$, nu finită. La fel la $-\infty$: limita e $-\infty$. Nu există asimptotă orizontală. Trecem la oblică.

Asimptota oblică $y = mx + n$

Calculăm $m$:

Calculăm $n$:

Deci spre $+\infty$ avem asimptotă oblică $y = x + 1$. Verifici identic spre $-\infty$: aceleași limite, aceeași asimptotă.

Concluzie pasul 4: o asimptotă verticală ($x = 1$) și o asimptotă oblică ($y = x + 1$, valabilă în ambele direcții).

Aplicăm regula derivării unui cât: $\displaystyle \left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$, cu $u = x^2$ și $v = x - 1$.

Punctele critice rezolvă $f'(x) = 0$:

Studiem semnul. Numitorul $(x-1)^2$ e mereu strict pozitiv pe $D$, așa că semnul lui $f'$ coincide cu semnul lui $x(x-2)$.

• •$x < 0$: $x < 0$, $x - 2 < 0$, produs pozitiv. $f' > 0$, funcția crește.
• •$0 < x < 1$: $x > 0$, $x - 2 < 0$, produs negativ. $f' < 0$, funcția scade.
• •$1 < x < 2$: $x > 0$, $x - 2 < 0$, produs negativ. $f' < 0$, funcția scade.
• •$x > 2$: $x > 0$, $x - 2 > 0$, produs pozitiv. $f' > 0$, funcția crește.

Extreme locale:

• •$x = 0$ marchează trecerea de la creștere la descreștere $\Rightarrow$ maxim local. Valoarea: $f(0) = 0$. Punctul: $(0, 0)$.
• •$x = 2$ marchează trecerea de la descreștere la creștere $\Rightarrow$ minim local. Valoarea: $\displaystyle f(2) = \frac{4}{1} = 4$. Punctul: $(2, 4)$.

Observație importantă: extremele locale sunt puncte din interiorul domeniului, nu de la marginile lui. Funcția nu are maxim sau minim global pe $D$, pentru că tinde la $\pm\infty$ la capete.

Derivăm $\displaystyle f'(x) = \frac{x^2 - 2x}{(x-1)^2}$ folosind din nou regula câtului.

Scoatem factor comun $(x-1)$ la numărător:

Dezvoltăm numărătorul:

Diferența: $2x^2 - 4x + 2 - 2x^2 + 4x = 2$. Așadar:

Studiem semnul lui $f''$:

• •$x < 1$: $(x-1)^3 < 0$, deci $f'' < 0$. Funcția e concavă pe $(-\infty, 1)$.
• •$x > 1$: $(x-1)^3 > 0$, deci $f'' > 0$. Funcția e convexă pe $(1, +\infty)$.

Puncte de inflexiune? Inflexiunea cere $f''(x_0) = 0$ (sau $f''$ nedefinit) și $x_0 \in D$.

Aici $f''$ nu se anulează niciodată (numărătorul e $2$, constant). Singurul punct unde $f''$ nu există e $x = 1$, dar $1 \notin D$.

Concluzie: funcția nu are puncte de inflexiune. Schimbarea concavitate $\to$ convexitate are loc la $x = 1$, dar nu acolo, pentru că $x = 1$ nu aparține domeniului.

Aceasta e exact tipul de capcană pe care examinatorii o pun la cerința (c) a subiectului III: "Demonstrați că funcția nu are puncte de inflexiune." Răspunsul corect cere doar 3 rânduri (semnul lui $f''$ + verificarea $x = 1 \notin D$), dar trebuie să le scrii pe ambele.

Tabelul de variație concentrează toată informația pe un singur grid. Pe coloane pui valorile speciale ale lui $x$ (capetele domeniului, punctele critice, punctele de discontinuitate) și intervalele dintre ele. Pe rânduri pui: $x$, semnul lui $f'(x)$, semnul lui $f''(x)$ și valorile lui $f(x)$ (sau săgeți de variație plus valori în puncte cheie).

Pentru funcția noastră, valorile speciale sunt $-\infty$, $0$, $1$, $2$, $+\infty$. Punctele cheie de calculat: $f(0) = 0$ și $f(2) = 4$. Limitele relevante: $\lim_{x \to \pm\infty} f(x) = \pm\infty$ (urmează asimptota oblică), $\lim_{x \to 1^-} f(x) = -\infty$, $\lim_{x \to 1^+} f(x) = +\infty$.

Cum citești tabelul pentru cerințele subiectului III:

• •"Determinați intervalele de monotonie." Răspuns direct: funcția crește pe $(-\infty, 0)$ și pe $(2, +\infty)$, scade pe $(0, 1) \cup (1, 2)$.
• •"Demonstrați că graficul nu intersectează asimptota oblică." Folosești limitele de la $\pm\infty$ împreună cu semnul lui $f(x) - (x+1)$.
• •"Studiați convexitatea." Concavă pe $(-\infty, 1)$, convexă pe $(1, +\infty)$.

Graficul iese din tabel ca o piesă de Lego.

1. 1.Marchezi pe axe asimptotele: linia verticală $x = 1$ (cu linie întreruptă) și oblica $y = x + 1$ (la fel, linie întreruptă).
2. 2.Marchezi punctele cheie: $(0, 0)$ origine, $(2, 4)$ minim local. Cu un punct evidențiat și valoarea trecută alături.
3. 3.Ramura din $(-\infty, 1)$: vine de la $-\infty$ jos-stânga (apropiindu-se de oblica $y = x + 1$), urcă până în maximul $(0, 0)$, apoi coboară spre $-\infty$ când $x$ se apropie de $1$ pe stânga.
4. 4.Ramura din $(1, +\infty)$: pornește de la $+\infty$ când $x = 1^+$, coboară până în minimul $(2, 4)$, apoi urcă spre $+\infty$, apropiindu-se de oblică deasupra ei.

Detaliu de stilizare: ramura stângă se află sub oblică pe tot intervalul (asta arată semnul lui $f(x) - (x+1)$), iar ramura dreaptă se află deasupra. Asta îți spune dacă graficul intersectează asimptota: în cazul nostru, nu, pentru că $\displaystyle f(x) - (x+1) = \frac{x}{x-1} - 1 = \frac{1}{x-1}$ nu se anulează niciodată.

Dacă faci schița pe foaie de matematică, nu trebuie să fie perfect proporțională. Important e să respecți: ordinea punctelor cheie, asimptotele, și forma generală a fiecărei ramuri.

Schema funcționează doar dacă o execuți curat. Iată cinci capcane care apar în baremurile oficiale ale ultimilor 10 BAC-uri, fiecare cu cum se pierd punctele și cum eviți pierderea.

Subiectul III conține două probleme, fiecare cu trei cerințe etichetate (a), (b), (c). Cerințele urmează aproape mereu același tipar:

• •Cerința (a) cere o operație de încălzire: calculul derivatei, scrierea domeniului, o limită simplă. Punctaj: 5 puncte. Pașii 1, 2, 5 ai schemei acoperă această parte.
• •Cerința (b) cere un calcul mai lung: studiul monotoniei pe un interval, determinarea unei asimptote, calculul unui punct de extrem. Punctaj: 5 puncte. Pașii 4, 5, 7 acoperă această parte.
• •Cerința (c) cere o demonstrație: monotonia implică o inegalitate, sau "demonstrați că ecuația $f(x) = a$ are exact $k$ soluții". Punctaj: 5 puncte. Aici intervine tabelul de variație (pasul 7) plus o argumentare formală.

Concret: dacă rezolvi schema completă pe foaia ciornă, ai răspunsul la toate trei cerințele scris pe foaie. Mai trebuie doar să copiezi în ordinea cerută și să formulezi propozițiile complete.

Sfat practic pentru ziua examenului: rezolvă întâi (a) și (b) curat. La (c), dacă te blochezi cinci minute, sari și revii la final cu timpul rămas. Cinci puncte ratate la (c) sunt mai puțin grave decât a pierde 30 de minute pe ele și a face calcule greșite la subiectul I (care e mult mai ușor de recuperat).

Articole de pe Algebo pe care le citești în continuare:

• •Subiectul 3 BAC matematică: ghid complet pentru derivate și integrale: privire de ansamblu pe toate cerințele subiectului III, nu doar studiul funcției.
• •Plan de recuperare BAC matematică în ultimele 30 de zile: dacă citești asta în mai sau iunie 2026, planul îți spune când să încadrezi studiul funcției în program.
• •Formule BAC matematică 2026, tabel complet M1 și M2: derivatele, primitivele și asimptotele pe o singură foaie.
• •10 greșeli frecvente la BAC matematică: capcanele de aici plus alte 5 de la subiectele I și II.
• •Plan de pregătire BAC matematică 2026, de la nota actuală la 8+ în 90 de zile: dacă mai ai 90 de zile, planul lung cu toate capitolele.

Pentru capitolele de algebră și analiză legate de pasul 7 (tabel de variație) și pasul 8 (graficul ariei), continuă pe lecții:

• •Capitolul Aplicații ale integralei definite acoperă aria sub graficul unei funcții, exact ce trebuie dacă cerința (c) de subiect III cere o arie.
• •Capitolul Integrala definită prinde formula Leibniz-Newton, pe care o folosești des împreună cu studiul funcției.
• •Capitolul Primitive e fundamentul pentru orice cerință care leagă derivata de o integrală.