Teorema lui Rolle: Demonstrație + 6 Aplicații BAC Rezolvate

Subiectul III, problema 2, cerința (c). În față ai o ecuație de forma $x^5 - 5x^3 + 4x + 2 = 0$ și examinatorul îți cere să arăți câte soluții reale are. Știi enunțul teoremei lui Rolle pe de rost, dar nu-ți vine niciun reflex. Pierzi cele 5 puncte și pleci de la examen convins că trebuia să mai exersezi.

Articolul ăsta îți dă enunțul exact, demonstrația prin Weierstrass și Fermat, șirul lui Rolle pentru numărarea soluțiilor (cea mai puternică aplicație, dar și cea mai des ratată la examen) și 6 tipare BAC rezolvate complet. La final, 5 capcane care răpesc puncte chiar și după ce înțelegi teorema.

Actualizat: iunie 2026, pentru BAC matematică sesiunea iunie 2026.

Rolle leagă două proprietăți pe care le-ai studiat separat în clasa a XI-a: valorile egale la capete ale unei funcții derivabile și anularea derivatei într-un punct interior. Teorema spune că, dacă funcția pleacă și se întoarce la aceeași valoare, atunci pe parcurs trebuie să existe cel puțin un moment în care variația ei instantanee este zero.

Iată enunțul exact, așa cum apare în programa M1 și M2 la capitolul Funcții derivabile.

Cum se citește geometric. Punctele $A(a, f(a))$ și $B(b, f(b))$ sunt la aceeași înălțime pe grafic, deci coarda $AB$ este orizontală. Teorema spune că între $A$ și $B$ există un punct $C(c, f(c))$ unde tangenta la grafic este, la rândul ei, orizontală.

Analogia practică: te plimbi pe un traseu montan care pleacă de la altitudinea $1000$ m și revine după o oră tot la $1000$ m. Indiferent de traseu (urcușuri, coborâșuri, șerpuiri), trebuie să existe cel puțin un moment când urci sau cobori cu viteza verticală fix zero. Acela este vârful unui deal sau fundul unei vâlcele de pe traseu. Rolle formalizează intuiția asta: o funcție care se întoarce la valoarea de start are obligatoriu cel puțin un extrem interior.

Acest extrem interior se traduce, prin teorema lui Fermat, într-un punct unde derivata se anulează. De aici se naște întreaga demonstrație.

Spre deosebire de Lagrange (care are doar 2 ipoteze), Rolle cere 3 condiții. Toate trei sunt necesare. Dacă lipsește oricare, concluzia poate să cadă. Examinatorii de BAC verifică explicit la barem dacă ai enunțat toate cele trei propoziții înainte să scrii $f'(c) = 0$.

Condiția 1: continuitate pe intervalul închis $[a, b]$.

Continuitatea trebuie să țină inclusiv la capete. Asta înseamnă $\lim_{x \to a^+} f(x) = f(a)$ și $\lim_{x \to b^-} f(x) = f(b)$. Pentru funcții elementare standard (polinoame, exponențiale, sinus, cosinus, $\ln$ pe $(0, +\infty)$, $\displaystyle \sqrt{x}$ pe $[0, +\infty)$), continuitatea pe intervalul de definiție este automată. Verifici doar că $[a, b]$ încape în domeniu.

Condiția 2: derivabilitate pe intervalul deschis $(a, b)$.

Derivabilitatea se cere doar pe intervalul deschis. La capete nu este nevoie ca derivata să existe, doar de continuitate. Asta îți permite să aplici Rolle pe funcții care nu sunt derivabile în $a$ sau $b$, cum este $\displaystyle f(x) = \sqrt{x(1-x)}$ pe $[0, 1]$: derivata $f'$ tinde la $\pm \infty$ la capete, dar funcția este derivabilă pe $(0, 1)$ și continuă la capete, deci Rolle se aplică.

Condiția 3: $f(a) = f(b)$.

Valorile la capete coincid. Asta este ipoteza care distinge Rolle de Lagrange. Dacă $f(a) = f(b)$, panta coardei dintre capete este zero, iar concluzia spune că tangenta în $c$ are tot panta zero, adică este orizontală. Dacă $f(a) \neq f(b)$, nu folosești Rolle, ci Lagrange (panta coardei nu este zero).

O situație frecventă la BAC: enunțul nu îți spune direct că $f(a) = f(b)$, ci îți dă o funcție pe care trebuie să o construiești tu (de obicei o funcție auxiliară de forma $g(x) = f(x) - h(x)$) astfel încât $g$ să satisfacă a treia ipoteză.

De ce contează fiecare condiție.

Fără continuitate la capete. Fie $f: [0, 1] \to \mathbb{R}$, $f(x) = x$ pentru $x \in [0, 1)$ și $f(1) = 0$. Atunci $f(0) = 0 = f(1)$, dar $f$ are un salt în $1$. Derivata $f'(x) = 1$ pe $(0, 1)$, niciodată zero. Rolle cade.

Fără derivabilitate pe interior. Fie $f(x) = |x|$ pe $[-1, 1]$. Avem $f(-1) = 1 = f(1)$, $f$ este continuă peste tot, dar nu este derivabilă în $0$. Derivata există doar pe $(-1, 0) \cup (0, 1)$ și este $\pm 1$, niciodată zero. Rolle cade pentru că ipoteza 2 nu este îndeplinită.

Fără $f(a) = f(b)$. Fie $f(x) = x$ pe $[0, 1]$. Atunci $f(0) = 0 \neq 1 = f(1)$. Derivata $f'(x) = 1$, niciodată zero. Rolle cade pentru că ipoteza 3 lipsește (aici aplici Lagrange și obții $f'(c) = 1$ pentru orice $c \in (0, 1)$).

Trei contraexemple, câte unul pentru fiecare ipoteză. Toate sunt esențiale.

Demonstrația folosește două teoreme deja învățate în clasa a XI-a: teorema lui Weierstrass (o funcție continuă pe interval închis își atinge marginile) și teorema lui Fermat (într-un punct de extrem interior unde funcția este derivabilă, derivata se anulează). Le combini cu ipoteza $f(a) = f(b)$ și obții $f'(c) = 0$.

Aici se naște aplicația cea mai puternică a teoremei lui Rolle, specifică programei românești și aproape inexistentă în manualele internaționale: șirul lui Rolle, o metodă pentru a număra exact câte soluții reale are o ecuație de forma $f(x) = 0$ pe un interval dat.

Ideea pornește dintr-o consecință directă a teoremei: între două zerouri consecutive ale derivatei $f'$ se află cel mult un zero al lui $f$. Dacă numeri schimbările de semn ale lui $f$ în punctele critice și la capetele intervalului, afli numărul exact de soluții ale ecuației.

Exemplu rezolvat complet. Câte soluții reale are ecuația $x^3 - 3x + 1 = 0$?

Pas 1: domeniu. $f(x) = x^3 - 3x + 1$ este polinomială, deci continuă și derivabilă pe $\mathbb{R}$.

Pas 2: derivata și punctele critice. $f'(x) = 3x^2 - 3 = 3(x-1)(x+1)$. Rezolvăm $f'(x) = 0$ și obținem $x_1 = -1$, $x_2 = 1$.

Pas 3: evaluări.

Pas 4: șirul semnelor. Pentru fiecare valoare extrasă mai sus, notăm doar semnul.

Pas 5: numărăm schimbările de semn.

• •Între $-\infty$ și $x_1$: $-$ trece la $+$, o schimbare, deci o soluție în $(-\infty, -1)$.
• •Între $x_1$ și $x_2$: $+$ trece la $-$, o schimbare, deci o soluție în $(-1, 1)$.
• •Între $x_2$ și $+\infty$: $-$ trece la $+$, o schimbare, deci o soluție în $(1, +\infty)$.

Concluzie: ecuația $x^3 - 3x + 1 = 0$ are exact 3 soluții reale, câte una în fiecare dintre intervalele $(-\infty, -1)$, $(-1, 1)$, $(1, +\infty)$.

De ce funcționează? Pe $(-\infty, -1)$, derivata $f'$ nu se anulează (cele două rădăcini ale ei sunt $-1$ și $1$, niciuna în interior). Conform consecinței teoremei lui Rolle (între două rădăcini consecutive ale lui $f'$ se află cel mult o rădăcină a lui $f$), pe acest sub-interval există cel mult o rădăcină. Cum semnul lui $f$ se schimbă, conform proprietății lui Darboux există și cel puțin una. Reunite, exact una. Argumentul se repetă pe celelalte două sub-intervale.

Rolle apare la BAC sub aceleași 6 tipare an după an. Mai jos găsești fiecare tipar cu o problemă reprezentativă, rezolvată pas cu pas. Citește enunțul, încearcă mental soluția, apoi extinde panoul pentru a vedea pașii. Cu cele 6 tipare în reflex, acoperi peste 90% din cerințele de subiectul III care invocă teorema lui Rolle.

Cele trei teoreme de medie din analiza matematică se înrudesc strâns. La examen, alegerea celei corecte costă uneori toate punctele cerinței. Tabelul de mai jos își dă diferențele în trei minute, după care urmează regula scurtă de alegere.

Regula de alegere în 3 pași la examen.

1. Se cere $f'(c) = 0$ sau să demonstrezi că derivata are o rădăcină pe interval? Verifică dacă $f(a) = f(b)$. Da, folosești Rolle.

2. Se cere o inegalitate, demonstrarea că o funcție este constantă, sau o evaluare a diferenței $f(b) - f(a)$? Folosești Lagrange.

3. Apar două funcții împreună (raporturi, demonstrația lui l'Hôpital, comparare $f$ cu $g$)? Folosești Cauchy.

La subiectul III BAC, Lagrange apare mai des decât Rolle, dar Rolle apare aproape întotdeauna la cerințele care întreabă câte soluții are o ecuație sau demonstrați unicitatea. Recunoști întrebarea $\Rightarrow$ alegi teorema $\Rightarrow$ aplici ipotezele. Asta este tot.

Teorema lui Rolle pare clară: trei ipoteze, o concluzie. Dar examinatorii știu exact unde să pună capcana. Iată cele cinci greșeli care apar în baremurile oficiale an după an, fiecare cu indicația exactă de cum o eviți.

Articole de pe Algebo care extind tema, ordonate după prioritatea pentru BAC:

• •Teorema lui Lagrange: demonstrație și 5 exerciții BAC rezolvate: teorema-soră, generalizarea lui Rolle. Demonstrația lui Lagrange folosește exact o construcție auxiliară plus Rolle, exact ca la Tiparul 4 al acestui articol.
• •Studiul funcției pas cu pas: schema BAC subiectul III în 8 pași: cealaltă jumătate a subiectului III, schema mecanică pentru cerințele (a), (b), (c) pe orice funcție. Șirul lui Rolle se integrează natural în pasul 7 (monotonie și semn).
• •Subiectul 3 BAC matematică: ghid complet pentru derivate și integrale: privire de ansamblu peste toate tipare ale subiectului III, dincolo de teoremele de medie.
• •Cum se calculează limita unei funcții: 7 nedeterminări: companion la șirul lui Rolle, fiindcă evaluările $\lim_{x \to \pm \infty} f(x)$ apar tot timpul în tabelul de semne.
• •Plan de recuperare BAC matematică în ultimele 30 de zile: dacă citești asta cu mai puțin de o lună până la BAC, planul îți spune când să integrezi Rolle și șirul lui Rolle în program.

Pentru capitolele platformei pe care le tangentează direct teorema:

• •Capitolul Integrala Definită, lecția Teorema de Medie: varianta integrală a teoremelor de medie, ruda mai puțin cunoscută a lui Rolle pentru funcții continue (fără derivabilitate).
• •Capitolul Primitive (Integrala Nedefinită): aici aplici concret consecința "$f' \equiv 0 \Rightarrow f$ constantă", care este fundamentul noțiunii de "constanta $+C$" la primitive. Tiparul 5 al articolului folosește exact această consecință.
• •Capitolul Polinoame: șirul lui Rolle este aplicația-vedetă pentru numărarea rădăcinilor unui polinom. Aici găsești și schema lui Horner pentru factorizare după ce ai izolat rădăcinile prin Rolle.