Relațiile lui Viète: Formule + 6 Exemple BAC Pas cu Pas

Subiectul I.4 la BAC matematică costă $5$ puncte și apare în aproape orice variantă oficială: ți se dă o ecuație de gradul al doilea cu rădăcinile $x_1, x_2$ și ți se cere o sumă, un produs sau o expresie simetrică ($x_1^2 + x_2^2$, $1/x_1 + 1/x_2$). Subiectul II pe profilul M2 conține obligatoriu un polinom de gradul al treilea cu trei cerințe pe relațiile lui Viète. Total: $10$ până la $15$ puncte care depind de o singură familie de formule.

Dacă astăzi e $8$ iunie $2026$, mai sunt $22$ de zile până la proba scrisă din $30$ iunie. Suficient cât să stăpânești cele patru formule de bază ale lui Viète (gradul $2$ și gradul $3$), cele cinci sume de puteri derivate din ele și cele șase tipare BAC în care apar. În articolul ăsta ai tabelul complet al formulelor Viète pentru gradul $2$ și $3$, $6$ exerciții BAC rezolvate pas cu pas ordonate exact ca pe subiectele oficiale, și $4$ capcane care taie puncte la barem chiar și după ce ai învățat formulele pe de rost.

Actualizat: iunie $2026$, pentru BAC matematică sesiunea iunie $2026$.

Pornim de la ecuația generală de gradul al doilea $a x^2 + b x + c = 0$, cu $a \neq 0$. Dacă $x_1$ și $x_2$ sunt rădăcinile ei, atunci polinomul $a x^2 + b x + c$ se descompune în factori liniari:

Desfacem paranteza din dreapta termen cu termen:

Identificăm coeficienții cu cei din membrul stâng. Coeficientul lui $x$ ne dă $-a (x_1 + x_2) = b$, iar termenul liber $a x_1 x_2 = c$. Împărțim ambele la $a$ și obținem relațiile lui Viète pentru gradul al doilea:

Exemplu rapid. Pentru $x^2 - 5 x + 6 = 0$ avem $a = 1, b = -5, c = 6$, deci $S = -b/a = 5$ și $P = c/a = 6$. Verifici imediat: rădăcinile $2$ și $3$ dau $2 + 3 = 5$ și $2 \cdot 3 = 6$. Bifează.

Condiția de valabilitate. Formulele lui Viète au loc întotdeauna, indiferent dacă rădăcinile sunt reale sau complexe. Dacă discriminantul $\Delta = b^2 - 4 a c \geq 0$, rădăcinile sunt reale. Dacă $\Delta < 0$, rădăcinile sunt complexe conjugate, iar Viète tot funcționează: $x_1 + x_2$ rămâne real (pentru că partea imaginară se anulează) și $x_1 x_2$ rămâne real (modul la pătrat). La BAC M2, dacă exercițiul cere rădăcini reale, verifici explicit $\Delta \geq 0$ înainte de a folosi Viète pentru a estima semnele lor. Lipsa verificării taie un punct la barem (vezi capcana $3$).

Aplicația-vedetă: construiește o ecuație din $S$ și $P$. Dacă știi suma $S$ și produsul $P$ a două numere, atunci ele sunt rădăcinile ecuației:

Observă semnul: suma intră cu minus, produsul cu plus. Confuzia semnelor e cea mai frecventă greșeală la cerința $(a)$ subiectul I.4.

De ce funcționează Viète: intuiția pe care manualele o sar. Înainte de a generaliza, oprește-te o secundă pe ideea-cheie. Orice polinom de grad $n$ se poate scrie în două forme: forma desfăcută $a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \ldots + a_0$ (cum apare în enunț) și forma factorizată $a_n (x - x_1) \cdots (x - x_n)$ (în funcție de rădăcini). Cele două forme sunt egale ca polinoame. Asta înseamnă că fiecare coeficient din forma desfăcută corespunde unei sume specifice de produse de rădăcini din forma factorizată. Coeficientul lui $x^{n-1}$ corespunde sumei rădăcinilor luate $1$ câte $1$, coeficientul lui $x^{n-2}$ corespunde sumei produselor doi câte doi, și așa mai departe. Relațiile lui Viète sunt traducerea explicită a acestei egalități de forme. Nu sunt o teoremă ezoterică; sunt o consecință mecanică a desfacerii produsului de factori.

Pentru polinomul $f = a x^3 + b x^2 + c x + d$ cu $a \neq 0$ și rădăcinile $x_1, x_2, x_3$ (numărate cu multiplicitate), descompunerea în factori liniari e:

Desfacem produsul:

Identificăm coeficienții și împărțim la $a$. Notăm:

• •$S_1 = x_1 + x_2 + x_3$ (suma rădăcinilor)
• •$S_2 = x_1 x_2 + x_2 x_3 + x_1 x_3$ (suma produselor luate două câte două)
• •$S_3 = x_1 x_2 x_3$ (produsul rădăcinilor)

Obținem relațiile lui Viète pentru gradul al treilea:

Mnemonic pentru semne. Semnele alternează: minus, plus, minus. Începi cu minus pentru $S_1$, schimbi alternativ. Greșeala clasică la BAC: scrii $S_1 = b/a$ în loc de $-b/a$ pentru că ai uitat alternarea. Pierzi $1$ punct din $5$ pe cerința $(a)$.

Exemplu rapid. Pentru $x^3 - 6 x^2 + 11 x - 6 = 0$ avem $a = 1, b = -6, c = 11, d = -6$. Aplicând formulele: $S_1 = 6, \;S_2 = 11, \;S_3 = 6$. Verifici: rădăcinile sunt $1, 2, 3$ și într-adevăr $1 + 2 + 3 = 6$, $1 \cdot 2 + 2 \cdot 3 + 1 \cdot 3 = 2 + 6 + 3 = 11$, $1 \cdot 2 \cdot 3 = 6$. Bifează.

Extensia la gradul $n$ (informativ, dincolo de programa BAC). Pentru un polinom de gradul $n$ cu coeficient dominant $a_n$, suma produselor de $k$ rădăcini este $S_k = (-1)^k \cdot \dfrac{a_{n-k}}{a_n}$. Semnele alternează mereu. La BAC M1 și M2 te oprești la gradul $3$, dar formula generală îți confirmă mnemonicul: alternanța nu e accidentală, e structurală.

Cazul polinomului normalizat. Dacă polinomul are coeficient dominant $1$ (adică $a = 1$), formulele se simplifică:

La BAC, polinoamele de la subiectul II.2 sunt mereu normalizate ($a = 1$). Înainte de a aplica Viète, verifici că polinomul are coeficient dominant $1$; dacă nu, împarți tot la $a$. Lipsa normalizării e capcana $1$ de mai jos.

Cerința dominantă la subiectul I.4 și II pe polinoame nu e $x_1 + x_2$ direct (asta e prea ușoară pentru $5$ puncte), ci o expresie simetrică ce se derivă din relațiile lui Viète: $x_1^2 + x_2^2$, $x_1^3 + x_2^3$, $1/x_1 + 1/x_2$, sau analogul pentru gradul $3$. Toate se reduc la $S$ și $P$ printr-o identitate algebrică.

Tabelul transformărilor esențiale pentru gradul $2$ (cu notațiile $S = x_1 + x_2$, $P = x_1 x_2$):

| Expresie | Transformare cu $S$ și $P$ | Origine |
|---|---|---|
| $x_1^2 + x_2^2$ | $S^2 - 2 P$ | $(x_1 + x_2)^2 = x_1^2 + 2 x_1 x_2 + x_2^2$ |
| $x_1^3 + x_2^3$ | $S^3 - 3 S P$ | $(x_1 + x_2)^3 - 3 x_1 x_2 (x_1 + x_2)$ |
| $x_1^2 x_2 + x_1 x_2^2$ | $S P$ | $x_1 x_2 (x_1 + x_2)$ |
| $\dfrac{1}{x_1} + \dfrac{1}{x_2}$ | $\dfrac{S}{P}$ | $\dfrac{x_1 + x_2}{x_1 x_2}$, valabil dacă $P \neq 0$ |
| $\dfrac{1}{x_1^2} + \dfrac{1}{x_2^2}$ | $\dfrac{S^2 - 2 P}{P^2}$ | $\dfrac{x_1^2 + x_2^2}{(x_1 x_2)^2}$ |
| $(x_1 - x_2)^2$ | $S^2 - 4 P$ | identic cu $\Delta / a^2$ |

Ultima linie e utilă pentru că ne dă direct discriminantul: $(x_1 - x_2)^2 = S^2 - 4 P = \dfrac{\Delta}{a^2}$. Verifici imediat dacă o ecuație are rădăcini distincte fără să o rezolvi.

Tabelul transformărilor pentru gradul $3$ (cu notațiile $S_1, S_2, S_3$):

| Expresie | Transformare cu $S_1, S_2, S_3$ | Origine |
|---|---|---|
| $x_1^2 + x_2^2 + x_3^2$ | $S_1^2 - 2 S_2$ | $(x_1 + x_2 + x_3)^2$ desfăcut |
| $x_1^3 + x_2^3 + x_3^3$ | $S_1^3 - 3 S_1 S_2 + 3 S_3$ | identitate Newton |
| $\dfrac{1}{x_1} + \dfrac{1}{x_2} + \dfrac{1}{x_3}$ | $\dfrac{S_2}{S_3}$ | numitor comun $x_1 x_2 x_3$, dacă $S_3 \neq 0$ |
| $x_1^2 x_2^2 + x_2^2 x_3^2 + x_1^2 x_3^2$ | $S_2^2 - 2 S_1 S_3$ | suma pătratelor produselor doi câte doi |

Identitatea lui Newton pentru sume de puteri ($p_k = x_1^k + x_2^k + x_3^k$):

Pentru orice $k \geq 1$ ai recurența $p_k = S_1 p_{k-1} - S_2 p_{k-2} + S_3 p_{k-3}$ (cu convenția $p_0 = 3$ pentru gradul $3$). La BAC apare cel mai des $p_2$ și $p_3$; mai rar $p_4$ pe subiectele M1 olimpiadă.

Cum folosești tabelul în practică. Citești expresia cerută în enunț, identifici linia din tabel, înlocuiești $S$ și $P$ (sau $S_1, S_2, S_3$) cu valorile lor din relațiile lui Viète aplicate coeficienților ecuației. Două substituții și exercițiul e gata. Pentru detalii și mai multe metode vezi lecția noastră despre relațiile lui Viète pe Algebo.

Cele $6$ exerciții de mai jos acoperă peste $90 \%$ din variantele Viete care au apărut la BAC matematică M1 și M2 în ultimii $10$ ani. Le-am ordonat după barem: primele $3$ sunt subiectul I.4 (cerințe scurte de $5$ puncte fiecare, gradul $2$), ultimele $3$ sunt subiectul II.2 (probleme de polinoame cu $3$ cerințe înlănțuite, gradul $3$). Apasă pe titlul fiecărui exercițiu ca să vezi rezolvarea completă pas cu pas. Primul e deschis implicit.

Următoarele patru greșeli apar repetat la corectarea baremelor oficiale BAC pe subiectele I.4 și II.2. Le-am ordonat după frecvență, de la cea care taie cele mai multe puncte la cea care taie cele mai puține.

Pentru o pregătire completă pe subiectul II.2 și pe polinoame la BAC, citește următoarele articole din colecția Algebo:

• •Subiectul II BAC matematică: 7 tipare rezolvate pas cu pas e ghidul complet pentru toate cerințele subiectului II, inclusiv structura cu matrice, sisteme și polinoame.
• •Exerciții rezolvate matrice clasa 11 BAC completează subiectul II.1 cu cele $10$ tipare clasice de matrice care apar înaintea polinomului din II.2.
• •Teorema lui Lagrange: demonstrație și $5$ aplicații BAC e teorema-cheie pentru subiectul III.1; rezultatele despre rădăcinile polinomului derivat se folosesc combinat cu Viète pentru a studia extremele unei funcții polinomiale.
• •Teorema lui Rolle: demonstrație și $6$ aplicații BAC leagă rădăcinile lui $f$ de rădăcinile lui $f'$, complementând Viète pentru studierea distribuției rădăcinilor.
• •Derivate clasa $11$: $10$ exerciții BAC rezolvate pas cu pas acoperă subiectul III.1, unde polinoamele apar frecvent ca funcții derivabile pe care le studiezi.

Pe Algebo, lecțiile complete pe polinoame includ Relațiile lui Viète cu interactiv și Teorema lui Bezout și rădăcinile polinoamelor.