Relațiile lui Viète: Formule + 6 Exemple BAC Pas cu Pas
6 exemple BAC cu relațiile lui Viète, gradul 2 și gradul 3 rezolvate complet. Plus tabelul sumelor de puteri și 4 capcane care taie puncte la barem.
Subiectul I.4 la BAC matematică costă puncte și apare în aproape orice variantă oficială: ți se dă o ecuație de gradul al doilea cu rădăcinile și ți se cere o sumă, un produs sau o expresie simetrică (, ). Subiectul II pe profilul M2 conține obligatoriu un polinom de gradul al treilea cu trei cerințe pe relațiile lui Viète. Total: până la puncte care depind de o singură familie de formule.
Dacă astăzi e iunie , mai sunt de zile până la proba scrisă din iunie. Suficient cât să stăpânești cele patru formule de bază ale lui Viète (gradul și gradul ), cele cinci sume de puteri derivate din ele și cele șase tipare BAC în care apar. În articolul ăsta ai tabelul complet al formulelor Viète pentru gradul și , exerciții BAC rezolvate pas cu pas ordonate exact ca pe subiectele oficiale, și capcane care taie puncte la barem chiar și după ce ai învățat formulele pe de rost.
Actualizat: iunie , pentru BAC matematică sesiunea iunie .
Pe scurt: ce stăpânești după acest articol
Pornim de la ecuația generală de gradul al doilea , cu . Dacă și sunt rădăcinile ei, atunci polinomul se descompune în factori liniari:
Desfacem paranteza din dreapta termen cu termen:
Identificăm coeficienții cu cei din membrul stâng. Coeficientul lui ne dă , iar termenul liber . Împărțim ambele la și obținem relațiile lui Viète pentru gradul al doilea:
Exemplu rapid. Pentru avem , deci și . Verifici imediat: rădăcinile și dau și . Bifează.
Condiția de valabilitate. Formulele lui Viète au loc întotdeauna, indiferent dacă rădăcinile sunt reale sau complexe. Dacă discriminantul , rădăcinile sunt reale. Dacă , rădăcinile sunt complexe conjugate, iar Viète tot funcționează: rămâne real (pentru că partea imaginară se anulează) și rămâne real (modul la pătrat). La BAC M2, dacă exercițiul cere rădăcini reale, verifici explicit înainte de a folosi Viète pentru a estima semnele lor. Lipsa verificării taie un punct la barem (vezi capcana ).
Aplicația-vedetă: construiește o ecuație din și . Dacă știi suma și produsul a două numere, atunci ele sunt rădăcinile ecuației:
Observă semnul: suma intră cu minus, produsul cu plus. Confuzia semnelor e cea mai frecventă greșeală la cerința subiectul I.4.
De ce funcționează Viète: intuiția pe care manualele o sar. Înainte de a generaliza, oprește-te o secundă pe ideea-cheie. Orice polinom de grad se poate scrie în două forme: forma desfăcută (cum apare în enunț) și forma factorizată (în funcție de rădăcini). Cele două forme sunt egale ca polinoame. Asta înseamnă că fiecare coeficient din forma desfăcută corespunde unei sume specifice de produse de rădăcini din forma factorizată. Coeficientul lui corespunde sumei rădăcinilor luate câte , coeficientul lui corespunde sumei produselor doi câte doi, și așa mai departe. Relațiile lui Viète sunt traducerea explicită a acestei egalități de forme. Nu sunt o teoremă ezoterică; sunt o consecință mecanică a desfacerii produsului de factori.
Pentru polinomul cu și rădăcinile (numărate cu multiplicitate), descompunerea în factori liniari e:
Desfacem produsul:
Identificăm coeficienții și împărțim la . Notăm:
- • (suma rădăcinilor)
- • (suma produselor luate două câte două)
- • (produsul rădăcinilor)
Obținem relațiile lui Viète pentru gradul al treilea:
Mnemonic pentru semne. Semnele alternează: minus, plus, minus. Începi cu minus pentru , schimbi alternativ. Greșeala clasică la BAC: scrii în loc de pentru că ai uitat alternarea. Pierzi punct din pe cerința .
Exemplu rapid. Pentru avem . Aplicând formulele: . Verifici: rădăcinile sunt și într-adevăr , , . Bifează.
Extensia la gradul (informativ, dincolo de programa BAC). Pentru un polinom de gradul cu coeficient dominant , suma produselor de rădăcini este . Semnele alternează mereu. La BAC M1 și M2 te oprești la gradul , dar formula generală îți confirmă mnemonicul: alternanța nu e accidentală, e structurală.
Cazul polinomului normalizat. Dacă polinomul are coeficient dominant (adică ), formulele se simplifică:
La BAC, polinoamele de la subiectul II.2 sunt mereu normalizate (). Înainte de a aplica Viète, verifici că polinomul are coeficient dominant ; dacă nu, împarți tot la . Lipsa normalizării e capcana de mai jos.
Cerința dominantă la subiectul I.4 și II pe polinoame nu e direct (asta e prea ușoară pentru puncte), ci o expresie simetrică ce se derivă din relațiile lui Viète: , , , sau analogul pentru gradul . Toate se reduc la și printr-o identitate algebrică.
Tabelul transformărilor esențiale pentru gradul (cu notațiile , ):
| Expresie | Transformare cu și | Origine |
|---|---|---|
| | | |
| | | |
| | | |
| | | , valabil dacă |
| | | |
| | | identic cu |
Ultima linie e utilă pentru că ne dă direct discriminantul: . Verifici imediat dacă o ecuație are rădăcini distincte fără să o rezolvi.
Tabelul transformărilor pentru gradul (cu notațiile ):
| Expresie | Transformare cu | Origine |
|---|---|---|
| | | desfăcut |
| | | identitate Newton |
| | | numitor comun , dacă |
| | | suma pătratelor produselor doi câte doi |
Identitatea lui Newton pentru sume de puteri ():
Pentru orice ai recurența (cu convenția pentru gradul ). La BAC apare cel mai des și ; mai rar pe subiectele M1 olimpiadă.
Cum folosești tabelul în practică. Citești expresia cerută în enunț, identifici linia din tabel, înlocuiești și (sau ) cu valorile lor din relațiile lui Viète aplicate coeficienților ecuației. Două substituții și exercițiul e gata. Pentru detalii și mai multe metode vezi lecția noastră despre relațiile lui Viète pe Algebo.
Cele exerciții de mai jos acoperă peste din variantele Viete care au apărut la BAC matematică M1 și M2 în ultimii ani. Le-am ordonat după barem: primele sunt subiectul I.4 (cerințe scurte de puncte fiecare, gradul ), ultimele sunt subiectul II.2 (probleme de polinoame cu cerințe înlănțuite, gradul ). Apasă pe titlul fiecărui exercițiu ca să vezi rezolvarea completă pas cu pas. Primul e deschis implicit.
Exersează acum 10 polinoame cu relațiile lui Viète
Următoarele patru greșeli apar repetat la corectarea baremelor oficiale BAC pe subiectele I.4 și II.2. Le-am ordonat după frecvență, de la cea care taie cele mai multe puncte la cea care taie cele mai puține.
Capcanele clasice, în ordinea frecvenței
1. Aplici Viète fără să normalizezi polinomul (coeficient dominant )
2. Sari semnul minus la și (uiți alternarea)
3. Confunzi relațiile lui Viète cu teorema lui Bezout
4. Uiti să verifici condiția pentru rădăcini reale
Pentru o pregătire completă pe subiectul II.2 și pe polinoame la BAC, citește următoarele articole din colecția Algebo:
- •Subiectul II BAC matematică: 7 tipare rezolvate pas cu pas e ghidul complet pentru toate cerințele subiectului II, inclusiv structura cu matrice, sisteme și polinoame.
- •Exerciții rezolvate matrice clasa 11 BAC completează subiectul II.1 cu cele tipare clasice de matrice care apar înaintea polinomului din II.2.
- •Teorema lui Lagrange: demonstrație și aplicații BAC e teorema-cheie pentru subiectul III.1; rezultatele despre rădăcinile polinomului derivat se folosesc combinat cu Viète pentru a studia extremele unei funcții polinomiale.
- •Teorema lui Rolle: demonstrație și aplicații BAC leagă rădăcinile lui de rădăcinile lui , complementând Viète pentru studierea distribuției rădăcinilor.
- •Derivate clasa : exerciții BAC rezolvate pas cu pas acoperă subiectul III.1, unde polinoamele apar frecvent ca funcții derivabile pe care le studiezi.
Pe Algebo, lecțiile complete pe polinoame includ Relațiile lui Viète cu interactiv și Teorema lui Bezout și rădăcinile polinoamelor.
Pregătire BAC matematică pe Algebo
Construiește planul personalizat de pregătire BAC dacă vrei să afli ce capitole te trag în jos și să primești un program zilnic până în iunie.
Sau începe direct o simulare BAC matematică completă: ore de subiect tip oficial cu corectare automată pas cu pas, inclusiv subiectele I.4 și II.2 cu polinoame.
Distribuie articolul