Matrice Clasa 11: 10 Exerciții BAC Rezolvate Pas cu Pas

Subiectul II.1 la BAC matematică valorează 15 puncte. Apare în fiecare variantă, indiferent de profil (M1 mate-info, M2 științe ale naturii, tehnologic, pedagogic), și are aproape mereu o matrice $2 \times 2$ în prim-plan plus o cerință de verificare a unei proprietăți algebrice. Dacă astăzi e $30$ mai $2026$ , mai sunt $31$ de zile până la proba scrisă din $30$ iunie. Suficient cât să stăpânești cele $10$ tipare care apar an după an.

În articolul ăsta ai $10$ exerciții cu matrice rezolvate complet, ordonate de la calcul direct (cerințele $(a)$ și $(b)$ , $10$ puncte ușoare) la matrice nilpotente cu binomul lui Newton (cerința $(c)$ , $5$ puncte grele). Fiecare e scris cu KaTeX nativ, nu PDF cu poze, deci poți copia pașii direct pe foaie. La final, $4$ capcane care taie puncte la barem chiar și după ce stăpânești formulele.

Actualizat: mai $2026$ , pentru BAC matematică sesiunea iunie $2026$ .

lightbulb

De reținut

Pe scurt: ce stăpânești după acest articol

La BAC subiectul II.1 (

15

puncte) apar patru tipuri de operații cu matrice: calcul direct și necomutativitate (

AB \neq BA

), determinant (formula

2 \times 2

, regula Sarrus pentru

3 \times 3

), matrice inversă (verifici că

\det \neq 0

, apoi formula cu adjuncta), și sisteme rezolvate cu Cramer. Pentru cerința grea apar ridicarea la putere prin inducție și binomul lui Newton pentru matrice nilpotente,

(I + A)^n

când

A^k = O

. Cele

10

exerciții de mai jos acoperă tot ce poate cere subiectul II.

Cum sunt structurate cele 10 exerciții

Cele $10$ exerciții urmează exact ordinea dificultății cu care apar la BAC subiectul II.1. Primele $6$ sunt calcul direct, exact ce trebuie să rezolvi mecanic în primele $15$ minute ca să bagi $10$ puncte sigure. Următoarele $3$ sunt medii ( $A^n$ prin inducție, găsirea tuturor matricelor care comută cu $A$ , determinantul inversei fără a calcula inversa), genul de cerință care apare la $(b)$ sau $(c)$ . Ultimul exercițiu este de vârf, matrice nilpotentă combinată cu binomul lui Newton, exact ce apare la cerința $(c)$ pe variantele M1 din ultimii $4$ ani.

Fiecare exercițiu are: enunț scurt, rezolvare pas cu pas cu KaTeX, verificare, și o notă scurtă pentru contextul BAC. Apasă pe un exercițiu ca să vezi rezolvarea completă.

10 exerciții BAC rezolvate pas cu pas

Citește mai întâi doar enunțul, încearcă să rezolvi pe ciornă, apoi deschide rezolvarea pentru pași. Repetă pentru toate $10$ , ai pe foaie exact $30$ până la $45$ de minute de antrenament pentru subiectul II.

Enunț. Fie

A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}

și

B = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}

. Calculează

AB

și

BA

și compară rezultatele.

Rezolvare. Aplicăm regula linie-coloană: elementul de pe poziția

(i, j)

din

AB

se obține înmulțind linia

i

din

A

cu coloana

j

din

B

, apoi adunând produsele.

AB = \begin{pmatrix} 1 \cdot 2 + 2 \cdot 1 & 1 \cdot 0 + 2 \cdot (-1) \\ 3 \cdot 2 + 4 \cdot 1 & 3 \cdot 0 + 4 \cdot (-1) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 & -2 \\ 10 & -4 \end{pmatrix}.

BA = \begin{pmatrix} 2 \cdot 1 + 0 \cdot 3 & 2 \cdot 2 + 0 \cdot 4 \\ 1 \cdot 1 + (-1) \cdot 3 & 1 \cdot 2 + (-1) \cdot 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 4 \\ -2 & -2 \end{pmatrix}.

Concluzie.

AB \neq BA

. Înmulțirea matricelor nu este comutativă în general. La examen, ordinea

A \cdot B

contează, atât pentru cerința directă cât și pentru manipulări ulterioare (factorizare, ridicare la putere, aplicarea binomului lui Newton).

Notă BAC. Cerința tipică sună "calculați

AB

și

BA

" sau "arătați că

AB \neq BA

". Valorează

5

puncte. Singura greșeală frecventă: schimbi ordinea fără să bagi de seamă.

tips_and_updates

Sfat

Exersează cele 10 tipare pe variante reale

Matricele devin mecanice după

15

până la

20

de exerciții cu tipar similar. Pe Algebo ai sesiuni de practică filtrate pe capitolele Matrice și Matrice Inversă, cu corectare automată pas cu pas și reluare focalizată pe greșelile tale.

Exersează acum 10 exerciții cu matrice, gratuit, apoi treci la subiectul III cu derivate și integrale.

4 capcane care taie puncte la barem

Cele patru greșeli de mai jos apar an după an în baremurile oficiale ale subiectului II.1. Fiecare valorează $1$ până la $5$ puncte în minus, deși se evită cu o singură propoziție extra în rezolvare.

Greșelile clasice, în ordinea frecvenței

1. Inversezi ordinea în $AB$ vs $BA$

Scrii direct

AB

, dar de fapt enunțul cerea

BA

. Sau folosești formule pentru

(A + B)^2 = A^2 + 2AB + B^2

care presupun comutativitatea, fără s-o verifici. Înmulțirea matricelor nu e comutativă (Exercițiul

1

). La examen, dacă enunțul cere

AB

, calculezi

AB

, nu

BA

. Confuzia costă cerința întreagă, de obicei

5

puncte.

2. Aplici Cramer fără să verifici $\det A \neq 0$

Scrii direct

x = \Delta_x / \det A

fără verificarea că

\det A \neq 0

. Dacă

\det A = 0

, sistemul are zero soluții sau infinit de multe (nu e Cramer). Examinatorul caută explicit la barem propoziția "

\det A = -5 \neq 0

, deci sistem Cramer" înainte de calculul lui

x

și

y

. Lipsa ei taie

1

punct chiar dacă restul calculelor ies corect.

3. Aplici binomul lui Newton fără verificarea comutativității

Scrii

\displaystyle (A + B)^n = \sum \binom{n}{k} A^k B^{n - k}

direct, fără să arăți că

AB = BA

. Binomul e valid pentru matrice doar când cele două matrice comută. Dacă

AB \neq BA

, dezvoltarea conține termeni precum

ABAB

BAAB

care nu se contractează la

A^2 B^2

. La examen, înainte de orice

(A + B)^n

, scrii explicit "

A

și

B

comută, deci aplicăm binomul lui Newton".

4. Sari verificarea $A \cdot A^{-1} = I$ după calculul inversei

Calculezi

A^{-1}

via formula cu adjuncta sau via formula directă

2 \times 2

, apoi treci la cerința următoare fără verificare. Examinatorul caută la barem produsul

A \cdot A^{-1}

explicit calculat, ca să confirmi rezultatul. O singură eroare aritmetică în calculul

A^{-1}

propagă peste tot. Costă

1

punct dacă ai noroc,

3

puncte dacă tot subiectul depinde de

A^{-1}

. Verificarea durează

30

de secunde.

Întrebări frecvente

Nu mereu. Există perechi de matrice care comută: orice matrice

A

comută cu identitatea

I

și cu propriile sale puteri

A^k

. Matricele diagonale între ele comută. În cazul general, însă, pentru matrice alese aleatoriu,

AB \neq BA

. La BAC: dacă enunțul îți spune "presupunem

AB = BA

" sau îți cere să demonstrezi

AB = BA

, ai nevoie de această ipoteză pentru pasul următor (de obicei pentru a aplica binomul lui Newton sau o factorizare).

Citește mai departe

Articole de pe Algebo care extind tema, ordonate după prioritatea pentru BAC iunie $2026$ :

•Teorema lui Lagrange: demonstrație și 5 exerciții BAC rezolvate: companionul pentru subiectul III. Lagrange e cea mai testată teoremă din analiza matematică, matricele sunt cea mai testată cerință de subiectul II.
•Studiul funcției pas cu pas: schema BAC subiectul III în 8 pași: cealaltă jumătate a subiectului III, schema mecanică pentru cerințele $(a)$ , $(b)$ , $(c)$ pe orice funcție.
•BAC matematică 2026: plan de recuperare în ultimele 30 de zile: planul de antrenament include exact $10$ minute pe zi pe matrice plus $15$ minute pe analiză.
•Formule BAC matematică 2026: tabel complet M1 și M2: formula inversei $2 \times 2$ , regula Sarrus, formulele Cramer, toate într-un singur tabel printabil.
•10 greșeli frecvente la BAC matematică: companionul pentru cele $4$ capcane de mai sus, extins la subiectele I și III.

Pentru capitolele Algebo pe care se sprijină direct articolul:

•Capitolul Matrice: definițiile, operațiile, exemplele interactive de calcul $AB$ și $A^n$ cu blocuri vizuale.
•Capitolul Matrice Inversă: formula adjuncta, exerciții cu inversa $3 \times 3$ , verificare automată pas cu pas.

check_circle

Corect

Pregătire BAC matematică pe Algebo

Subiectul II.1 valorează

15

puncte. Dacă astăzi e

30

mai

2026

, mai sunt

31

de zile până la proba scrisă din

30

iunie. Două căi pe Algebo:

Construiește planul personalizat de pregătire BAC dacă vrei să afli ce capitole te trag în jos și să primești un program zilnic până în

30

iunie.

Sau începe direct o simulare BAC matematică completă:

3

ore de subiect tip oficial cu corectare automată pas cu pas.

Matrice Clasa 11: 10 Exerciții BAC Rezolvate Pas cu Pas

Pe scurt: ce stăpânești după acest articol

Cum sunt structurate cele 10 exerciții

10 exerciții BAC rezolvate pas cu pas

Exersează cele 10 tipare pe variante reale