Subiectul II BAC Matematică: 7 Tipare Rezolvate Pas cu Pas

Subiectul II la BAC matematică valorează $30$ de puncte și apare în fiecare variantă, indiferent de profil. E împărțit în $2$ probleme cu câte $3$ cerințe fiecare: II.1 ( $15$ puncte) e despre matrice, determinanți și sisteme; II.2 ( $15$ puncte) e despre legi de compoziție, structuri algebrice și polinoame. Dacă astăzi e $1$ iunie $2026$ , mai sunt $29$ de zile până la proba scrisă din $30$ iunie. Subiectul II e zona cu cele mai mecanice puncte din tot examenul, dacă recunoști tiparul.

În articolul ăsta ai cele $7$ tipare care apar an după an la subiectul II, ordonate de la calcul direct (cerințele $(a)$ și $(b)$ , $10$ puncte aproape sigure) la demonstrații abstracte (cerința $(c)$ , $5$ puncte care decid nota între $8$ și $9{,}50$ ). Pentru fiecare tipar ai: semnalele din enunț care îți spun ce tehnică să aplici, strategia de rezolvare în pași, și un exemplu rezolvat pas cu pas cu KaTeX nativ. La final, $5$ greșeli de barem care taie puncte chiar și după ce stăpânești tehnica.

Actualizat: iunie $2026$ , pentru BAC matematică sesiunea din $30$ iunie $2026$ .

lightbulb

De reținut

Pe scurt: cele 7 tipare la subiectul II BAC matematică

La subiectul II.1 (

15

puncte) ai trei tipare: calcul matricial + determinant (cerințele

(a)

(b)

), sistem rezolvat cu Cramer (cerința

(b)

), și $A^n$ prin inducție sau binomul lui Newton pentru matrice nilpotente (cerința

(c)

). La subiectul II.2 (

15

puncte) ai patru tipare: verificarea proprietăților unei legi de compoziție (asociativitate, neutru, simetric), demonstrarea că $(G, *)$ este grup, morfisme și izomorfisme (doar M1), și polinoame cu rădăcini raționale, Bezout, Horner și relațiile lui Viète. Cu cele

7

tipare antrenate, ai

25

până la

30

de puncte sigure din

30

Cum e structurat subiectul II la BAC matematică

Subiectul II are $30$ de puncte, distribuite egal pe două probleme. II.1 valorează $15$ puncte și este aproape mereu despre matrice, determinanți și sisteme ( $15$ puncte din materia clasei a 11-a). II.2 valorează tot $15$ puncte și acoperă structurile algebrice și polinoamele din clasa a 12-a, dar conținutul exact diferă semnificativ între profile.

La M1 (mate-info) ai în II.2 fie o lege de compoziție cu cerință de grup sau inel, fie morfisme și izomorfisme de grupuri, fie polinoame cu cerințe avansate (inel de polinoame, rădăcini multiple). La M2 (științe ale naturii) ai mai des polinoame ( $\det$ cu coeficienți, Horner, Viète) sau legi de compoziție mai blânde, fără cerințe de morfism. La tehnologic ai matrice maximum $3 \times 3$ și polinoame de bază. La pedagogic și mai simplu. Structura cerințelor $(a)$ , $(b)$ , $(c)$ e aceeași la toate profilurile, doar gradul de dificultate diferă.

Punctaj parțial există. Dacă scrii corect raționamentul pentru $(a)$ și $(b)$ dar te blochezi la $(c)$ , ai garantat $10$ puncte. Cele mai multe note sub $8$ vin din încercări dezordonate la cerința $(c)$ în loc să fixezi clar cele $10$ puncte ușoare de la $(a)$ și $(b)$ .

tips_and_updates

Sfat

Punctajul pe cerințe la subiectul II

La II.1 și II.2 cerințele

(a)

și

(b)

sunt în general de calcul direct și valorează câte

5

puncte fiecare. Cerința

(c)

e cea grea și valorează

5

puncte, dar consumă

20

până la

30

de minute. Strategie pentru ziua examenului: ia mai întâi cele

20

de puncte sigure din

(a)

și

(b)

pe ambele probleme, apoi treci la

(c)

pentru încă

10

puncte ținta. Asta înseamnă

30

de puncte la subiectul II, cu marjă pentru subiectul III.

Cele 7 tipare care țin 30 de puncte

Fiecare tipar are: semnalele din enunț care îți spun ce tehnică aplici, pașii standard de rezolvare, și un exemplu rezolvat pas cu pas. Apasă pe un tipar ca să vezi exemplul complet.

Cum recunoști tiparul. Enunțul îți dă una sau două matrice concrete (

2 \times 2

3 \times 3

) și cere "Calculați $AB$ ", "Calculați $\det(A)$ ", "Arătați că $AB \neq BA$ ", sau "Determinați valorile lui $m$ pentru care $\det(A_m) = 0$ ". E cerința

(a)

(b)

aproape în orice variantă.

Pașii de rezolvare.
1. Aplici regula linie-coloană pentru produs: elementul de pe poziția

(i, j)

din

AB

se obține înmulțind linia

i

din

A

cu coloana

j

din

B

.
2. Pentru determinant

2 \times 2

formula directă

\det \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} = ad - bc

.
3. Pentru determinant

3 \times 3

regula Sarrus: aduni produsele diagonalelor descendente, scazi produsele celor ascendente.
4. Dacă ai parametru, rezolvi ecuația

\det(A_m) = 0

pentru

m

.

Exemplu rezolvat. Fie

A_m = \begin{pmatrix} m & 1 \\ 2 & m - 1 \end{pmatrix}

. Determinați valorile reale ale lui

m

pentru care

A_m

nu este inversabilă.

Rezolvare. Matricea

A_m

nu este inversabilă dacă și numai dacă

\det(A_m) = 0

. Calculăm:

\det(A_m) = m(m - 1) - 1 \cdot 2 = m^2 - m - 2.

Factorizăm:

m^2 - m - 2 = (m - 2)(m + 1) = 0.

Soluții:

m_1 = 2

m_2 = -1

.

Concluzie.

A_m

nu este inversabilă pentru

m \in \{-1, 2\}

. Pentru orice altă valoare a lui

m

, matricea este inversabilă.

Valoare la BAC. Cerință de tipul

(a)

(b)

5

puncte, timp recomandat

5

minute.

tips_and_updates

Sfat

Antrenează cele 7 tipare pe variante reale

Tiparele devin mecanice după

20

până la

30

de exerciții cu structură similară. Pe Algebo ai sesiuni de practică filtrate pe capitolele Matrice, Determinanți, Sisteme, Legi de compoziție, Grupuri, Polinoame, cu corectare automată pas cu pas.

Începe o simulare BAC matematică completă:

3

ore, subiecte tip oficial, corectare la barem cu punctaj parțial. Sau antrenament rapid pe un singur tipar dacă vrei să fixezi unul anume înainte de subiectul III.

Strategia pentru ziua examenului: cum împarți cele 3 ore

Examenul durează $3$ ore și ai $3$ subiecte de câte $30$ de puncte plus $10$ puncte din oficiu. Bugetul rezonabil de timp e: subiectul I ( $25$ minute, $30$ de puncte de calcul direct), subiectul II ( $60$ de minute, $30$ de puncte împărțite pe matrice + algebră), subiectul III ( $75$ de minute, $30$ de puncte de analiză matematică), plus $20$ de minute la final pentru verificare și completarea cerințelor nefinalizate.

La subiectul II, strategia optimă e două runde. Runda întâi ( $30$ de minute): rezolvi cerințele $(a)$ și $(b)$ la ambele probleme (II.1 și II.2). Astea sunt cele $4$ cerințe ușoare care îți aduc $20$ de puncte sigure. Runda a doua ( $30$ de minute): ataci cerințele $(c)$ pe ambele probleme. Începi cu cea pe care o recunoști cel mai bine (de obicei II.1 cu $A^n$ via inducție pentru M1, sau polinoame Bezout la II.2 pentru M2).

Reguli de aur.
- Niciodată nu petreci mai mult de $15$ minute blocat la o cerință înainte să sari la următoarea.
- Dacă te blochezi la $(c)$ , scrii cel puțin enunțul tehnicii pe care ai vrea să o aplici ("aș aplica binomul lui Newton pentru că $A$ pare nilpotentă"). Examinatorul îți dă $1$ punct parțial pentru intenție corectă.
- Verifici fiecare cerință unde ai folosit Cramer ( $\det A \neq 0$ explicit), inversa ( $A \cdot A^{-1} = I$ explicit), grupul (toate cele $4$ axiome explicit citate).

5 greșeli care taie puncte la barem

Cele $5$ greșeli de mai jos apar an după an în baremurile oficiale ale subiectului II. Fiecare valorează $1$ până la $5$ puncte în minus, deși se evită cu o singură propoziție explicită în rezolvare.

Greșelile clasice, în ordinea frecvenței

1. Aplici Cramer fără să verifici $\det A \neq 0$

Scrii direct

x = \dfrac{\Delta_x}{\det A}

fără propoziția "

\det A = -5 \neq 0

, deci sistem Cramer". La barem, această propoziție valorează

1

punct separat de calculul lui

x

și

y

. Dacă o omiți, pierzi punctul chiar dacă restul iese. Verificarea durează

5

secunde.

2. Citezi neutrul fără să demonstrezi că aparține mulțimii

G = (2, \infty)

scrii

e = 3

și treci mai departe. Examinatorul cere explicit verificarea că

e \in G

. La barem, lipsa propoziției "

3 \in (2, \infty)

" sau "

e = 3 > 2

, deci

e \in G

" costă

1

punct. La fel pentru simetric: trebuie să arăți că

x' = 2 + \dfrac{1}{x - 2} > 2

3. Aplici binomul lui Newton fără verificarea comutativității

Scrii

\displaystyle (A + B)^n = \sum \binom{n}{k} A^k B^{n - k}

direct, fără să arăți că

AB = BA

. Binomul e valid pentru matrice doar când cele două matrice comută. Dacă

A

și

B

nu comută, dezvoltarea conține termeni precum

ABAB

BAAB

care nu se contractează la

A^2 B^2

. Înainte de orice

(A + B)^n

, scrii explicit "Cum

AB = BA

(din pas precedent), aplicăm binomul lui Newton".

4. La morfism, sari verificarea injectivității și surjectivității

Demonstrezi proprietatea

f(x * y) = f(x) \circ f(y)

(morfismul în sine) și concluzionezi că

f

e izomorfism. Greșit: izomorfism cere și bijectivitate, deci injectivitate plus surjectivitate. Examinatorul cere ambele propoziții explicit, fiecare cu demonstrație. La barem, fiecare lipsă costă

1

punct.

5. La polinoame, "verifici" rădăcini care sunt iraționale

Cerința "determinați rădăcinile reale" la un polinom

P

cu coeficienți întregi nu acceptă răspunsul "polinomul nu are rădăcini raționale" dacă există rădăcini iraționale (de exemplu

\displaystyle \sqrt{2}

). Trebuie să descompui

P

în factori cu rădăcini reale explicit identificate. Dacă rămâne un factor de gradul

2

\Delta < 0

(deci complex), notezi explicit că rădăcinile lui sunt complexe non-reale. Lipsa acestei distincții pierde

2

puncte.

Întrebări frecvente

La M1 (mate-info), II.1 poate include matrice

3 \times 3

, sisteme generale, ridicare la putere prin inducție și binom; II.2 e dominat de structuri algebrice (legi de compoziție, grupuri, morfisme, eventual inele și corpuri) și polinoame avansate (rădăcini multiple, polinoame ireductibile peste

\mathbb{Z}

). La M2 (științe ale naturii), II.1 e mai blând (matricele rămân

2 \times 2

în general, fără demonstrații prin inducție grele); II.2 e dominat de polinoame (Horner, Viète, Bezout) și legi de compoziție de bază. Tehnologic și pedagogic sunt încă mai simple, fără structuri abstracte. Cele

7

tipare se aplică la toate profilurile, doar selectivitatea diferă: la M1 ai nevoie de toate, la M2 te concentrezi pe tiparele

1, 2, 4, 5, 7

Citește mai departe

Articole de pe Algebo care extind tema, ordonate după prioritatea pentru BAC iunie $2026$ :

•Matrice clasa 11: 10 exerciții BAC rezolvate pas cu pas: companionul direct pentru tiparele $1, 2, 3$ din acest articol. $10$ exerciții complete cu KaTeX.
•Subiectul 3 BAC matematică: ghid complet pentru derivate și integrale: cealaltă jumătate de $30$ de puncte. Cu subiectele II și III stăpânite, ai $60$ din $90$ de puncte.
•Cum se calculează limita unei funcții: 7 nedeterminări rezolvate: subiectul III începe cu limite. Decizia $0/0$ sau $\infty / \infty$ se ia în primele $30$ de secunde.
•Studiul funcției pas cu pas: schema BAC subiectul III în 8 pași: schema mecanică pentru cea mai testată cerință din subiectul III.
•Teorema lui Lagrange: demonstrație și 5 exerciții BAC rezolvate: cea mai testată teoremă din analiza matematică, cu demonstrații tip BAC.
•BAC matematică 2026: plan de recuperare în ultimele 30 de zile: planul de antrenament include exact câte $20$ de minute pe zi pe subiectul II.

Pentru capitolele Algebo pe care se sprijină direct articolul:

•Capitolul Matrice: definițiile, operațiile, exemplele interactive cu blocuri vizuale.
•Capitolul Structuri algebrice: legi de compoziție, grupuri, exerciții cu morfisme și izomorfisme.

check_circle

Corect

Construiește planul personalizat pentru BAC 2026

Subiectul II valorează

30

de puncte din cele

90

de la matematică. Dacă astăzi e

1

iunie

2026

, mai sunt

29

de zile până la proba scrisă din

30

iunie. Două căi pe Algebo:

Construiește planul personalizat de pregătire BAC dacă vrei să afli ce tipare te trag în jos și să primești un program zilnic până în

30

iunie.

Sau dă o simulare BAC matematică completă:

3

ore, subiecte tip oficial, cu corectare automată pe barem pentru toate cerințele de la subiectul II.

Subiectul II BAC Matematică: 7 Tipare Rezolvate Pas cu Pas

Pe scurt: cele 7 tipare la subiectul II BAC matematică

Cum e structurat subiectul II la BAC matematică

Punctajul pe cerințe la subiectul II

Cele 7 tipare care țin 30 de puncte

Antrenează cele 7 tipare pe variante reale

Strategia pentru ziua examenului: cum împarți cele 3 ore

5 greșeli care taie puncte la barem

Greșelile clasice, în ordinea frecvenței

1. Aplici Cramer fără să verifici $\det A \neq 0$

2. Citezi neutrul fără să demonstrezi că aparține mulțimii

3. Aplici binomul lui Newton fără verificarea comutativității

4. La morfism, sari verificarea injectivității și surjectivității

5. La polinoame, "verifici" rădăcini care sunt iraționale

Întrebări frecvente

Citește mai departe

Construiește planul personalizat pentru BAC 2026

Articole Similare

Teorema lui Rolle: Demonstrație + 6 Aplicații BAC Rezolvate

Cum Se Calculează Limita Unei Funcții: 7 Nedeterminări Rezolvate

Matrice Clasa 11: 10 Exerciții BAC Rezolvate Pas cu Pas

Teorema lui Lagrange: Demonstrație + 5 Exerciții BAC Rezolvate

Pe scurt: cele 7 tipare la subiectul II BAC matematică

Cum e structurat subiectul II la BAC matematică

Punctajul pe cerințe la subiectul II

Cele 7 tipare care țin 30 de puncte

Antrenează cele 7 tipare pe variante reale

Strategia pentru ziua examenului: cum împarți cele 3 ore

5 greșeli care taie puncte la barem

Greșelile clasice, în ordinea frecvenței

1. Aplici Cramer fără să verifici det⁡A≠0\det A \neq 0detA=0

2. Citezi neutrul fără să demonstrezi că aparține mulțimii

3. Aplici binomul lui Newton fără verificarea comutativității

4. La morfism, sari verificarea injectivității și surjectivității

5. La polinoame, "verifici" rădăcini care sunt iraționale

Întrebări frecvente

Citește mai departe

Construiește planul personalizat pentru BAC 2026

Articole Similare

Teorema lui Rolle: Demonstrație + 6 Aplicații BAC Rezolvate

Cum Se Calculează Limita Unei Funcții: 7 Nedeterminări Rezolvate

Matrice Clasa 11: 10 Exerciții BAC Rezolvate Pas cu Pas

Teorema lui Lagrange: Demonstrație + 5 Exerciții BAC Rezolvate

1. Aplici Cramer fără să verifici $\det A \neq 0$