Aria Sub Grafic: Formula + 3 Tipare BAC Rezolvate Pas cu Pas

Subiectul III, problema 2, cerința (c). Examinatorul îți pune în față $f(x) = x^3 - 4x$ și îți cere aria suprafeței plane dintre grafic, axa $Ox$ și dreptele $x = -1$, $x = 2$. Scrii integrala, calculezi primitiva, înlocuiești limitele și primești un număr negativ. De aici începe panica: am greșit semnul derivării? Schimb capetele? Aria poate fi negativă?

Articolul ăsta îți dă algoritmul complet în 5 pași, distincția critică între integrala definită (poate fi negativă) și aria suprafeței plane (mereu pozitivă), formula corectă cu modul plus 3 tipare BAC rezolvate complet: polinom cu schimbare de semn, aria între două grafice și funcție rațională cu logaritm. La final, 5 capcane de barem care răpesc puncte chiar și după ce calculul algebric este corect.

Actualizat: iunie 2026, pentru BAC matematică sesiunea iunie 2026.

Înainte să te lupți cu modul și schimbări de semn, fixează de ce integrala calculează aria. Nu este o axiomă, este o consecință directă a definiției lui Riemann.

Iei un interval $[a, b]$ și o funcție continuă $f$ cu $f(x) \geq 0$ pe interval. Împarți $[a, b]$ în $n$ sub-intervale egale, fiecare de lungime $\Delta x = \dfrac{b - a}{n}$. Pe fiecare sub-interval $[x_{k-1}, x_k]$ alegi un punct $\xi_k$ și construiești un dreptunghi de bază $\Delta x$ și înălțime $f(\xi_k)$. Suma ariilor celor $n$ dreptunghiuri este suma Riemann:

Pe măsură ce $n \to \infty$, dreptunghiurile devin tot mai înguste, iar suma lor se apropie tot mai mult de aria reală sub grafic. Limita acestor sume, atunci când există și nu depinde de alegerea punctelor $\xi_k$, este integrala Riemann:

Teorema fundamentală pe care te bazezi la examen: orice funcție continuă pe un interval închis $[a, b]$ este integrabilă Riemann. La BAC, ipoteza standard este continuitatea pe interval închis, deci nu trebuie să verifici integrabilitatea explicit, doar continuitatea.

Pentru orice funcție continuă pe $[a, b]$, problema de aria se încadrează într-unul din 3 cazuri. Decizi cazul înainte de a integra, ca să nu pierzi puncte la barem prin formula greșită.

Algoritmul de mai jos este schema mecanică pentru orice cerință de tipul „calculați aria suprafeței plane delimitate de graficul lui $f$, axa $Ox$ și dreptele $x = a$, $x = b$". Aplici pașii în ordine, fără să sari nici unul. Cele mai multe puncte pierdute la barem pleacă din omiterea pasului 2 (semnul) sau din confuzia pasului 4 (limitele integralelor parțiale).

Subiectul III, problema 2 (la M2) sau problema 1 (la M1), folosește aproape întotdeauna una din 3 familii de funcții pentru cerința de aria: polinom cu schimbare de semn (cel mai des), funcție rațională (mai des la M1 cu modul gestionat fin) și aria între două grafice (Subiectul II rar, sau Subiectul III ca cerință extinsă). Cu cele 3 tipare în reflex, acoperi peste 90% din variantele oficiale de la BAC din ultimii 10 ani.

Tiparul 2 de mai sus a folosit deja formula, dar merită ridicată ca regulă generală pentru cazurile mai complicate.

Dacă $f, g: [a, b] \to \mathbb{R}$ sunt continue și $f(x) \geq g(x)$ pentru orice $x \in [a, b]$ (graficul lui $f$ deasupra graficului lui $g$ pe tot intervalul), atunci aria suprafeței plane delimitate de cele două grafice și dreptele $x = a$, $x = b$ este:

Dacă cele două grafice se intersectează în interior, adică există $c \in (a, b)$ cu $f(c) = g(c)$ și ordinea „cine e deasupra" se schimbă, formula se aplică separat pe sub-intervale:

Echivalent: tratezi $h(x) = f(x) - g(x)$ ca o singură funcție și aplici algoritmul în 5 pași pentru aria sub graficul lui $h$. Pasul 2 al algoritmului (semnul lui $h$) este acum „cine e deasupra", iar pasul 3 (zerourile lui $h$) sunt punctele de intersecție ale celor două grafice.

Programa M1 BAC 2026 include și volumul corpurilor obținute prin rotația graficului unei funcții. Formula este o extensie naturală a ariei sub grafic, derivată tot din sume Riemann.

Dacă $f: [a, b] \to [0, +\infty)$ este continuă și ne-negativă pe interval, volumul corpului obținut prin rotirea graficului lui $f$ în jurul axei $Ox$ este:

Logica formulei: rotind un dreptunghi subțire de bază $\Delta x$ și înălțime $f(x)$ în jurul axei $Ox$, obții un disc subțire cu raza $f(x)$ și grosimea $\Delta x$. Volumul discului este $\pi \cdot f^2(x) \cdot \Delta x$. Sumând $n$ discuri și trecând la limită pentru $n \to \infty$, ajungi la integrala de mai sus.

Observație: volumul nu are modul. Deoarece $f^2(x) \geq 0$ peste tot, integrala $\int_a^b f^2(x)\,dx \geq 0$ automat, iar înmulțirea cu $\pi > 0$ păstrează semnul. Compensarea este că $f^2$ are de regulă o primitivă mai complicată decât $f$, deci tehnicile de integrare (substituție, părți, dezvoltarea pătratului) sunt mai dificile.

Pentru M2 și tehnologic, volumul de rotație nu apare în programa standard la subiectul III, dar formula este uneori cerută la subiectul I (testarea cunoștințelor teoretice de bază). Pentru programa exactă a profilului tău, verifică documentele oficiale pe edu.ro.

După ce ai algoritmul în mână, capcanele examenului apar pe aceeași listă, de la cea care răpește mai mult la cea minoră.

Articole de pe Algebo care extind tema, ordonate după prioritatea pentru BAC subiectul III:

• •Subiectul 3 BAC matematică: ghid complet pentru derivate și integrale: privire de ansamblu peste toate tiparele subiectului III, inclusiv cerințele de aria și de volum.
• •Studiul monotoniei unei funcții cu derivate: cealaltă jumătate a subiectului III, problema 1. Tabelul de variație îți dă semnul lui $f$ pe $[a, b]$ ca subprodus, exact ce ai nevoie la pasul 2 al algoritmului din acest articol.
• •Studiul funcției pas cu pas: schema BAC subiectul III în 8 pași: contextul complet al studiului unei funcții la subiectul III, cu aria ca pasul aplicativ final după monotonie, asimptote și extreme.
• •Teorema lui Lagrange: demonstrație și 5 exerciții BAC rezolvate: teorema care justifică formal regula semnului derivatei (utilă pentru pasul 2 al algoritmului) și care apare adesea ca sub-cerință anterioară în aceeași problemă cu aria.
• •Cum se calculează limita unei funcții: 7 nedeterminări rezolvate: companion pentru cazurile când capătul $a$ sau $b$ este la infinit, situație care apare la integralele improprii (M1).

Pentru capitolele platformei pe care le tangentează direct tema:

• •Capitolul Aplicații ale Integralei Definite: lecții complete despre arie, volum și aplicații în fizică (lucru mecanic, masă).
• •Capitolul Integrala Definită: formula Newton-Leibniz, proprietăți, sume Riemann, condiții de integrabilitate.
• •Capitolul Primitive: Integrala Nedefinită: tabelul complet de primitive plus tehnicile de integrare (substituție, părți, descompunere în fracții simple).
• •Antrenament direct pe variante BAC reale cu integrale: seturi de exerciții filtrate pe tema integralelor, cu corectare automată pas cu pas.